KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.


K. 499. A macskák kergetik az egereket. Öt egér elbújik egy falrepedésben, így minden menekülő egérre két macska jut. Tíz macska azonban elunja a kergetőzést, így már három menekülő egérre jut egy üldöző macska. Hány egér és hány macska kezdte a kergetőzést?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 500. Egy bálon öt fiú és öt lány szeretne táncolni a keringőben. Anna 160 cm, Bea 165 cm, Csilla 166 cm, Dóri 168 cm, Elvira 170 cm, míg Ferenc 166 cm, Gábor 168 cm, Hugó 169 cm, István 172 cm, János 178 cm magas. Hányféle párosításban táncolhatnak, ha minden lány csak nála magasabb fiúval táncolhat?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 501. Az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontok egy síkban helyezkednek el. Az \(\displaystyle e\) egyenes a síkban az \(\displaystyle A\)-tól 2 cm-re, a \(\displaystyle B\)-től pedig 3 cm-re van. Adjuk meg az ilyen \(\displaystyle e\) egyenesek számát az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság függvényében.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 502. Egy iskolai kiránduláson megkérdeztük a gyerekeket, kinek hány osztálytársa van ott. A résztvevők mindegyike válaszolt. Tízen mondták azt, hogy 4 osztálytársuk van ott, tizenketten, hogy 3, hatan, hogy 2 és négyen, hogy 1. Minden gyereknek ott volt az osztályfőnöke, más tanár nem volt jelen. Hány gyerek és hány tanár vett részt a kiránduláson?

Javasolta: Lorántfy László (Dabas)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 503. Egy tréfás kedvű matematikatanár április 1-jén a leírt számokat és műveleteket mindig abban a számrendszerben értelmezi, amelynek alapja az éppen aktuális időpont egész órája. (Tehát pl. 13 óra 32 perckor a 13-as számrendszerben.) Ezen a napon elvégzett egy szorzást, eredményként 181-et kapott. Egy óra múlva ugyanazon számjegyekkel leírva elvégezte ugyanazt a szorzást, eredményként 180-t írt le. A második szorzás után két órával összeadta az 180-t és az 181-et, összegként 341-et jegyzett le. Mi volt az eredeti számjegyekkel leírt szorzása?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 504. Mennyi az alábbi sokszög kerülete?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.


C. 1343. Egy apa jelenleg öt évvel idősebb, mint három fia együttvéve. Tíz, húsz, illetve harminc év múlva az apa életkora a legidősebb, a második, illetve a harmadik fia életkorának kétszerese lesz. Hány éves most az apa és hány évesek a fiai?

(Matlap)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1344. Mutassuk meg, hogy a kilenc oldalú szabályos sokszögekben a legnagyobb és legkisebb átló hossza közötti különbség éppen a sokszög oldalának hosszával egyenlő.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1345. Az első \(\displaystyle 3^n\) darab pozitív egész szám közül hány áll elő a 3 különböző hatványainak összegeként?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1346. Egységnyi oldalú négyzet egyik csúcsából induló két szakasszal a négyzetet három egyenlő területű részre osztjuk: két háromszögre és egy általuk közrefogott deltoidra. Ugyanezt tesszük a szomszédos csúcsból kiindulva is. Mekkora a két deltoid közös részének területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1347. Össze lehet-e ragasztani néhány \(\displaystyle 1~\rm~cm^3\) térfogatú kiskockát egy nem üreges testté úgy, hogy térfogatának és felszínének a \(\displaystyle \rm~cm^3\)-ben, illetve \(\displaystyle \rm cm^2\)-ben mért \(\displaystyle V\), illetve \(\displaystyle A\) mérőszámaira a \(\displaystyle V=\frac{5}{4}A\) összefüggés teljesüljön?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1348. Egy háromszögben az oldalak mérőszámai egymást követő egész számok, és a legnagyobb szög kétszer akkora, mint a legkisebb. Mekkorák a háromszög oldalai?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1349. Karcsi és barátai gyakran játszanak kockapókert. Karcsi, a nagy kópé, az öt kocka közül az egyiken a 3-as és az 5-ös középső pöttyét lefestette a kocka alapszínével. Így ezen a kockán egy 1-es, két 2-es, két 4-es és egy 6-os látható. Mindez olyan jól sikerült, hogy a következő alkalommal senki sem vette észre a turpisságot.

Mekkora annak a valószínűsége, hogy ha most ezzel az öt kockával dobnak egyszerre, akkor a dobott számok között lesz legalább négy egyforma?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.


B. 4777. Az B-4777-es bolygón háromféle nép él: az alfák, a béták és a gammák. Az egyik népbe tartozóknak (nem feltétlenül az alfáknak) 2 kezük, a másik népbe tartozóknak 3 kezük, a harmadik népbe tartozóknak pedig 4 kezük van. Az egyik népnél (nem feltétlenül a 2 kezeseknél) egy-egy kézen 4 ujj van, a másik népnél 5 ujj, a harmadiknál 6 ujj van egy-egy kézen. Mindegyik nép olyan alapú számrendszert használ, ahány kézujja van. (Ha pl. a 4 kezeseknek 6-6 ujja van: ők 24-es alapú számrendszert használnak.) Az alfák saját számrendszerében felírt \(\displaystyle 64_{\alpha}\) száma megegyezik a béták \(\displaystyle 51_{\beta}\) számával. Hány keze, és azon hány ujja van az alfáknak, a bétáknak, illetve a gammáknak?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4778. Legyen \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög belső pontja. Szerkesszük meg az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle CD\) átmérőjű köröket, majd húzzunk az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok mindegyikéből egy-egy érintőt az adott pontot nem tartalmazó két körhöz. Bizonyítsuk be, hogy a hat érintőszakasz négyzetének összege egyenlő a háromszög oldalainak négyzetösszegével.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4779. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögeit, ha tudjuk, hogy az \(\displaystyle AB\) oldal két harmadolópontja és a \(\displaystyle BC\) oldal két, a csúcsokhoz közelebbi negyedelőpontja olyan húrnégyszöget alkot, melynek körülírt köre érinti a \(\displaystyle CA\) oldalt.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4780. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n\) természetes számokat, melyekre igaz, hogy ha egy \(\displaystyle \mathcal{K}_n\) konvex \(\displaystyle n\)-szög oldalfelezőpontjai szabályos \(\displaystyle n\)-szöget alkotnak, akkor \(\displaystyle \mathcal{K}_n\) maga is szabályos \(\displaystyle n\)-szög.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4781. Egy \(\displaystyle n \times n\)-es sakktábla sorait is és oszlopait is sorban megszámoztuk az 1-től \(\displaystyle n\)-ig terjedő számokkal, majd minden mezőjére egy-egy pénzérmét helyeztünk el. A következő játékot játsszuk: kiválasztunk a táblán egy írással felfelé elhelyezett érmét. Amennyiben sorának és oszlopának sorszámai \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle m\), akkor az összes olyan érmét átfordítjuk, amelynek sora legalább \(\displaystyle k\), oszlopa pedig legalább \(\displaystyle m\) indexű. Ezt a lépést ismételgetjük.

Mi az a legkisebb \(\displaystyle L(n)\) szám, amire igaz, hogy tetszőleges kezdő állásból kiindulva legfeljebb \(\displaystyle L(n)\) lépésben elérhetjük, hogy minden érmén a fej legyen felül?

Javasolta: Lenger Dániel és Szoldatics József (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4782. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

\(\displaystyle 8^x+27^x+2\cdot30^x+54^x+60^x= 12^x+18^x+20^x+24^x+45^x+90^x. \)

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4783. Egy bolha ugrál az \(\displaystyle ABCD\) négyzet csúcsain, az \(\displaystyle A\) csúcsról indulva. Minden egyes ugrásnál \(\displaystyle \frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\) valószínűséggel valamelyik szomszédos csúcsba ugrik. A bolha akkor áll meg, ha az utolsó olyan csúcsot is eléri, amin addig még nem volt. Határozzuk meg, hogy melyik csúcs mekkora valószínűséggel lesz utolsó.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4784. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:

\(\displaystyle 2\big(a^4+b^4+c^4\big)+\frac{71+17\sqrt{17}}{2}\ge 4abc+ a^2b^2+c^2a^2+3b^2c^2. \)

Javasolta: Mehtaab Sawhney (Commack, NY (USA))

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4785. Adott a térben a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömb. A \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő tetszőleges \(\displaystyle e\) egyenes esetén nevezzük az \(\displaystyle e\) egyenes \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó párjának azt az \(\displaystyle f\) egyenest, mely \(\displaystyle \mathcal{G}\)-nek az \(\displaystyle e\)-re illeszkedő két érintősíkján lévő érintési pontokat köti össze. Mutassuk meg, hogy a tér bármely két \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő egyenese pontosan akkor kitérő, ha \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó párjaik kitérő egyenesek.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.


A. 665. Legyenek \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) különböző pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 3\sum_{i=1}^{n}a_i^5+\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg)^{2} \ge 4\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i^3\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg). \)

Javasolta: Mehtaab Sawhney, Commack, USA

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 666. Legyen \(\displaystyle p\) prímszám, \(\displaystyle k\) pozitív egész, és legyen \(\displaystyle \mathcal{A}\) egész számokból álló, legalább \(\displaystyle p^k\)-elemű véges halmaz. Jelölje \(\displaystyle N_{\text{páros}}\) az \(\displaystyle \mathcal{A}\) olyan, páros elemszámú részhalmazainak számát, amelyekben az elemek összege osztható \(\displaystyle p^k\)-nal. Hasonlóan, jelölje \(\displaystyle N_{\text{páratlan}}\) az \(\displaystyle \mathcal{A}\) olyan, páratlan elemszámú részhalmazainak számát, amelyekben az elemek összege osztható \(\displaystyle p^k\)-nal. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle N_{\text{páros}}\equiv N_{\text{páratlan}} \pmod{p}\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 667. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög körülírt körén legyen \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\), illetve \(\displaystyle C_0\) a \(\displaystyle BAC\), a \(\displaystyle CBA\), illetve az \(\displaystyle ACB\) ív felezőpontja. Jelölje \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AB_0C_0\), a \(\displaystyle BC_0A_0\), illetve a \(\displaystyle CA_0B_0\) háromszög Feuerbach-pontját. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) és az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögek hasonlók.

Orosz feladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley