KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

A. 668. Adott egy \(\displaystyle k\) pozitív egész, és adottak a síkban a különböző \(\displaystyle A_1,A_2,\ldots, A_{2k+1}\) és \(\displaystyle O\) pontok és egy, az \(\displaystyle O\) ponton átmenő \(\displaystyle \ell\) egyenes. Minden \(\displaystyle i=1,\ldots,2k+1\) esetén legyen \(\displaystyle B_i\) az \(\displaystyle A_i\) pont tükörképe az \(\displaystyle \ell\) egyenesre, és legyen \(\displaystyle C_i\) az \(\displaystyle OB_i\) és \(\displaystyle A_{i+k}A_{i+k+1}\) egyenesek metszéspontja. (A pontok indexeit modulo \(\displaystyle 2k+1\) értjük: \(\displaystyle A_{2k+2}=A_1\), \(\displaystyle A_{2k+3}=A_2\), ..., és feltesszük, hogy a metszéspontok minden esetben létrejönnek.) Mutassuk meg, hogy ha a \(\displaystyle C_1,C_2,\ldots,C_{2k}\) pontok egy egyenesre esnek, akkor ez az egyenes átmegy \(\displaystyle C_{2k+1}\)-en is.

(5 pont)

Statisztika

A. 669. Létezik-e a racionális számok halmazának olyan \(\displaystyle q_1,q_2,\ldots\) sorozatba rendezése, amelyhez nem léteznek olyan \(\displaystyle 1\le i_1<i_2<\ldots<i_6\) indexek, amelyekre a \(\displaystyle q_{i_1},q_{i_2},\ldots,q_{i_6}\) számok számtani sorozatot alkotnak?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő) és Komjáth Péter (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 670. Legyen \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots\) nemnegatív egészekből álló sorozat, amelyre

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n} a_{id} \le n \)

teljesül tetszőleges \(\displaystyle (n,d)\) pozitív egész pár esetén. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle K\) pozitív egész számhoz léteznek olyan \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle D\) pozitív egészek, amelyekre

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2N} a_{iD} = N-K. \)

(Kínai feladat)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

B. 4786. Legyenek \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) pozitív egész számok. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle p^2+q\) és \(\displaystyle p+q^2\) közül legalább az egyik nem négyzetszám.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4787. Egy derékszögű trapéz területe egyenlő a szárak szorzatának felével. A merőleges szár melyik pontjából látszik a másik szár a legnagyobb szög alatt?

Javasolta: Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4788. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\(\displaystyle x^2+y^3 =x+1,\)

\(\displaystyle x^3+y^2 =y+1.\)

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4789. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-ból, illetve \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezője a körülírt kört másodszor a \(\displaystyle G\), illetve a \(\displaystyle H\) pontban metszi. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontja a \(\displaystyle BC\) oldalon a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldalon pedig az \(\displaystyle E\) pont. Legyen továbbá a \(\displaystyle DCE\) háromszög körülírt körének középpontja a \(\displaystyle K\) pont. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle K\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4790. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög súlyvonalainak megrajzoljuk a Thalész-körét. Az \(\displaystyle A\)-ból, \(\displaystyle B\)-ből, illetve \(\displaystyle C\)-ből induló súlyvonal Thalész-köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét a csúcsoktól különböző \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) pontban is metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle A\)-ban \(\displaystyle AA_1\)-re, \(\displaystyle B\)-ben \(\displaystyle BB_1\)-re, \(\displaystyle C\)-ben pedig \(\displaystyle CC_1\)-re állított merőleges egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4791. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle CE\) magasságvonalainak metszéspontja az \(\displaystyle M\) pont. A \(\displaystyle DE\) egyenes az \(\displaystyle AC\) oldalegyenest a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle PM\) egyenes merőleges a háromszög \(\displaystyle B\) csúcsból induló súlyvonalára.

(Kvant)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4792. Igaz-e, hogy tetszőleges pozitív irracionális szám tizedestört alakjából el lehet hagyni végtelen sok jegyet úgy, hogy az eredeti számot kapjuk vissza?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4793. Hány olyan permutációja van az \(\displaystyle 1, 2, 3, \ldots, n\) számoknak, amelyekben pontosan

\(\displaystyle a)\) egyszer,

\(\displaystyle b)\) kétszer fordul elő, hogy két szomszédos helyen álló szám közül a bal oldali a nagyobb?

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4794. Egy konvex poliéder lapjai közül legalább három ötszög. Legalább hány lapja van a poliédernek?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

C. 1350. Definiáljuk az \(\displaystyle (a_n)\) sorozatot a következőképpen: \(\displaystyle a_1=1\), és \(\displaystyle n>0\)-ra \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+4n\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle (a_n)\) sorozat összes tagja előáll két szomszédos négyzetszám összegeként.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1351. Az \(\displaystyle ABCD\) érintőtrapéz \(\displaystyle B\)-nél levő belső szöge \(\displaystyle 60^\circ\), a beírt körének érintési pontjai az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DA\) oldalakon legyenek sorban \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Jelölje \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle FG\) egyenesek metszéspontját, továbbá \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle FH\) felezőpontját. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle HE\) párhuzamos a \(\displaystyle BC\) szárral, akkor az \(\displaystyle IK\) egyenes is párhuzamos velük.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1352. Egy egységnyi oldalú négyzet átlóján vegyünk fel egy egységnyi hosszúságú szakaszt, melynek végpontjaiba állított merőlegesek elmetszik a négyzet oldalait. Mennyi az így létrejött konvex hatszög területének maximális értéke?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1353. Határozzuk meg az \(\displaystyle x^2-xy+y^2=7\) egyenlet egész megoldásait.

Javasolta: Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1354. Egy egységsugarú körben \(\displaystyle n\) darab (\(\displaystyle n>2\)) egyforma kis kör úgy helyezkedik el, hogy mindegyik belülről érinti az egységsugarú kört és érintik mindkét szomszédjukat is. A kis körök mekkora hányadát fedik le az egységsugarú kör területének? Számítsuk is ki \(\displaystyle n=3\), 4 és 6 esetén a kérdéses hányadost.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1355. A pozitív páros számokat egymás után, növekvő sorrendben leírjuk sorokra tördelve úgy, hogy az \(\displaystyle n\)-edik sorba \(\displaystyle n\) darab szomszédos páros szám kerül. Határozzuk meg a 2016. sorban levő számok összegét.

Javasolta: Rókáné Rózsa Anikó (Békéscsaba)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1356. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) kockában legyen \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle L\) a \(\displaystyle CG\), \(\displaystyle M\) pedig az \(\displaystyle EH\) él felezőpontja. Hányad része az \(\displaystyle FKLM\) tetraéder térfogata a kocka térfogatának?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley