KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

A. 671. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 0< \sum_{i=0}^k {(-1)}^{i}\binom{n+1}{i}{(k+1-i)}^n < n! \)

teljesül tetszőleges \(\displaystyle 0<k<n\) egész számok esetén.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 672. Egy kör alapú ferde gúla csúcsa \(\displaystyle O\). Mutassuk meg, hogy az alaplap belsejében vannak olyan \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\) pontok, amelyekre \(\displaystyle XOF_1 \sphericalangle+ XOF_2 \sphericalangle\) állandó, ha az \(\displaystyle X\) körbefut az alapkör kerületén.

(5 pont)

Statisztika

A. 673. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblán színes gyöngyöket helyeztünk el; egy mezőn akár többet is. Összesen \(\displaystyle (2n-1)\)-féle színű gyöngyöt használtunk fel, minden színből pontosan \(\displaystyle n\) darabot. A gyöngyöket olyan módon rendeztük el, hogy semelyik sor vagy oszlop sem tartalmaz egynél több, azonos színű gyöngyöt. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható \(\displaystyle n\) darab, páronként különböző színű gyöngy úgy, hogy közülük semelyik kettő nincs egy sorban vagy egy oszlopban.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

B. 4795. Egy pontosan járó órának a nagy- és kismutatója teljesen egyforma, másodpercmutatója nincs. Hány olyan időpont van egy nap 12 óra után és 24 óra előtt, amikor nem tudjuk egyértelműen leolvasni, hogy mennyi az idő?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4796. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle x^2-6\{x\}+1=0 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4797. A \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok rendre az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB, BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalainak tetszőleges belső pontjai. Legyenek az \(\displaystyle ADF, BED\) és \(\displaystyle CFE\) háromszögek súlypontjai rendre a \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle I\) pontok. Továbbá legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), a \(\displaystyle DEF\) háromszög súlypontja \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle GHI\) háromszög súlypontja pedig \(\displaystyle L\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle S\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4798. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlója merőleges egymásra, a körülírt kör középpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABK\) és \(\displaystyle CDK\) háromszögek területe egyenlő.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4799. Mely négyzetszámok állnak elő egy 3-, és egy 5-hatvány összegeként, ahol a hatványok kitevői nemnegatív egész számok?

Káspári Tamás (Paks) javaslata alapján

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4800. Adott a \(\displaystyle BC\) egyenesen a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontjától különböző \(\displaystyle T\) pont. A \(\displaystyle T\) középpontú \(\displaystyle k\) kör a \(\displaystyle T\)-ben \(\displaystyle BC\)-re állított merőlegest \(\displaystyle A\)-ban, az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) egyeneseket pedig a \(\displaystyle K\), illetve az \(\displaystyle L\) pontokban metszi. Legyen \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle ABC\) köréírt kör \(\displaystyle A\)-tól különböző metszéspontja \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KL\), \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4801. Legyen \(\displaystyle f_n\) az alábbi rekurzióval definiált függvények sorozata:

\(\displaystyle f_0(x) = f_1(x) = 1, \mathrm{~és~} n\ge 2 \mathrm{~esetén~}f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot 2\cos(2x) - f_{n-2}(x). \)

Határozzuk meg \(\displaystyle f_n(x)\) függvény \(\displaystyle [0,\pi]\) intervallumba eső zérushelyeinek a számát.

Javasolta: Bodnár Levente (Budapesti Fazekas M. Gyak. Gimn.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4802. A \(\displaystyle \mathcal{K}\) egyenes körkúp beírt gömbje \(\displaystyle \mathcal{G}\). Az \(\displaystyle r\) sugarú \(\displaystyle g_1, g_2, \dots, g_n\) gömbök középpontjai \(\displaystyle 2r\) oldalú szabályos \(\displaystyle n\)-szöget alkotnak. Továbbá a \(\displaystyle g_i\) gömbök mindegyike érinti \(\displaystyle \mathcal{K}\) palástját és alaplapját, valamint \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t is. Milyen értékeket vehet föl \(\displaystyle n\)?

(Szovjet versenyfeladat)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4803. Meg lehet-e adni a számegyenesen racionális végpontú zárt intervallumokat úgy, hogy minden racionális szám pontosan egy intervallum végpontja legyen, továbbá

\(\displaystyle a)\) bármelyik két zárt intervallum közül az egyik tartalmazza a másikat;

\(\displaystyle b)\) semelyik két intervallum nem diszjunkt és egyik sem tartalmazza a másikat?

Gáspár Merse Előd ötletéből

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

C. 1357. Zsófi kiválasztott egy olyan négyzet alapú hasábot, melynek egyik éle 3 cm-rel hosszabb a másiknál. Ezután elárulta Gergőnek a hasáb felszínének nagyságát és azt, hogy a hasáb élei cm-ben mérve egész számok. Adjuk meg a hasáb éleinek hosszát, ha tudjuk, hogy Gergő egyértelműen ki tudta azt találni.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1358. Legyen az \(\displaystyle ABCDE\) érintőötszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle r\). Tudjuk, hogy az \(\displaystyle A\) csúcsnál derékszög van és \(\displaystyle EOA\sphericalangle=60^\circ\), valamint, hogy \(\displaystyle OCD\) háromszög szabályos. Határozzuk meg az ötszög területét.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1359. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számtól függően hány megoldása van az

\(\displaystyle x^2-y^2=10^n \)

egyenletnek az \(\displaystyle (x;y)\) nemnegatív egész számpárok körében?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1360. Hány oldalú szabályos sokszögeknek van olyan átlója, melynek Thalész-köre átmegy a sokszög valamely oldalának felezőpontján?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1361. Az \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) egyenletben az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív egész számok ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Az egyenlet gyökei is egész számok. Mennyi a két gyök értéke?

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1362. Egy téglatest térfogata 10,9545 cm\(\displaystyle {}^3\), az élek hosszának számtani közepe 2,2655 cm, harmonikus közepe pedig 2,1769 cm. Adjuk meg a téglatest testátlójának cm-ben mért hosszát 3 tizedesjegy pontossággal.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1363. Egy derékszögű trapéz párhuzamos oldalai \(\displaystyle 405\) és \(\displaystyle 80\) egység hosszúságúak. A derékszögű szár hossza \(\displaystyle 65 \big(\sqrt{3}+\sqrt{2}\,\big)\) egység. A trapézt az alapokkal párhuzamos vágásokkal nyolc egymáshoz hasonló trapézra vágjuk. Mekkora a legnagyobb szelet magassága?

Javasolta: Szepesi Zoltán Gábor (Budapest)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley