KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.


K. 517. Normálországban van egy város, ahol aki igazmondó, az mindig igazat mond, aki nem igazmondó, az egyik nap igazat mond, a következő nap pedig nem mond igazat, aztán megint igazat mond és így tovább. András, Barbara és Cili vezetékneve valamilyen sorrendben Kis, Nagy és Hosszú. Döntsük el, mi András, Barbara és Cili vezetékneve és melyikük igazmondó, ha az alábbiakat mondták:

Hétfőn
András: Barbara nem mond igazat.
Barbara: Nem vagyok igazmondó.
Cili: Van igazmondó közöttünk.

Kedden
András: Cili tegnap igazat mondott.
Barbara: András vezetékneve Nagy vagy Kis.
Cili: Barbara vezetékneve nem Kis.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 518. Hatszögszámnak nevezzük az ábrasor számait és az ábrasor folytatásában megjelenő további számokat. Bizonyítás nélkül adjunk képletet az \(\displaystyle n\)-edik hatszögszámra, majd ez alapján mutassuk meg, hogy a 2016 hatszögszám.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 519. A ,,negadecimális'' számrendszer olyan számrendszer, aminek helyi értékei a 10 hatványai, de váltakozó előjellel, azaz a tízes számrendszer 1, 10, 100, 1000 stb. helyi értékei helyett 1, \(\displaystyle -10\), 100, \(\displaystyle -1000\) stb. Például

\(\displaystyle 325_{-10} =3 \cdot 100 + 2\cdot (-10) + 5 \cdot 1 = 300 - 20 + 5 = 285_{10}. \)

Írjuk fel az idei évszámot negadecimális számrendszerben.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 520. Meg lehet-e adni hat olyan természetes számot, amelyekből ha az összes lehetséges módon kiválasztunk kettőt, és összeadjuk őket, akkor rendre különböző, egymást követő természetes számokat kapunk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 521. Egy futóversenyre minden résztvevő iskola négy versenyzőt küldött. András, Berci, Csaba és Dénes egy iskolából mentek a versenyre. Közülük András érte el a legjobb helyezést, ő a mezőny első negyedében végzett. Berci 18. lett, mögötte végzett Csaba, akit több, mint négyszer annyi versenyző előzött meg, mint Andrást. Dénes végzett négyük közül a legrosszabb helyen, ő 59. lett. Hány iskola tanulói vettek részt a versenyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 522. Egy színházi előadásra a jegy ára 1000 Ft, a színház nézőterére 300 fő fér be. Az előadásra a vártnál kevesebben vettek teljes árú jegyet, ezért megjelentettek egy kupont a műsorfüzetben, mellyel a jegyet 25%-kal olcsóbban lehet megvásárolni (ez után mindenki már csak így vásárolt jegyet). Ezzel a kedvezményes jegyek eladásából származó bevétel feleannyi lett, mint a teljes árú jegyek eladásából származó bevétel, de még így is maradt 50 jegy. Hány Ft-ért adják el ezek darabját közvetlenül az előadás előtt, hogy a teljes bevétel elérje az eredetileg maximálisan elérhető összbevétel 80%-át?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.


C. 1378. Három valós szám közül az egyik 2-vel haladja meg a három szám átlagát. Mennyivel nagyobb ez a szám a két másik átlagánál?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1379. Egy húrtrapézba kör írható. Igazoljuk, hogy a szemközti érintési pontokat összekötő szakaszok hosszának egyike a trapéz alapjai hosszának mértani, a másik pedig harmonikus közepe.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1380. Egy kör kerületére valamilyen sorrendben felírtunk összesen páratlan sok 0, 1-es és 2-es számjegyet, melyek közül nem mind egyforma. Egy lépés során mindegyik két, egymás mellett lévő szám közé beírjuk az összegük hármas maradékát, majd letöröljük az eredeti számokat. Előfordulhat-e az, hogy néhány lépés után a körön mind egyenlő számok lesznek?

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1381. Legyen az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle BC\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle AB\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle N\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle |BM|=|BN|\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1382. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}< \sqrt{2017}\,. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1383. Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle A\) ponthoz közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle B\) ponthoz közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle D\). A \(\displaystyle C\), \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle D\) pontokban az \(\displaystyle AB\) szakaszra rajzolt merőlegesek az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkört rendre a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) pontokban metszik. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQB\) és a \(\displaystyle QRB\) háromszögek szögeit.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1384. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) számok páronként különböző pozitív egész számok. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle ab = c+d,\)

\(\displaystyle a+b = cd.\)

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


B. 4822. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\) természetes számot, melyre az \(\displaystyle x^2+(p+2015)x +2016p+1=0\) egyenletnek van egész megoldása.

Javasolta: Jakab Tibor (Sepsiszentgyörgy)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4823. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben (\(\displaystyle AB < AC\)) az \(\displaystyle A\) pontból induló magasságvonal talppontja \(\displaystyle D\), a háromszög köré írható kör középpontja \(\displaystyle O\). Bizonyítsuk be, hogy ha a \(\displaystyle BAC\sphericalangle\) külső szögfelezője párhuzamos \(\displaystyle OD\)-vel, akkor az \(\displaystyle AODC\) négyszög átlói egyenlőek.

(Erdélyi Magyar Matematikaverseny)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4824. Legyenek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) olyan valós számok, melyekre \(\displaystyle xy=1\) teljesül. Adjuk meg a

\(\displaystyle K=\frac{{(x+y)}^2-(x-y)-2}{{(x+y)}^2+(x-y)-2} \)

kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4825. Vágjuk fel az ábrán látható konkáv hatszöget egy folytonos vágással két egybevágó darabra. Igazoljuk megoldásunk helyességét. (Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet oldala egységnyi, az \(\displaystyle AEF\) egyenlőszárú háromszög alapja két egység, szárszöge \(\displaystyle 135^\circ\).)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4826. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) körök az egymástól különböző \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszik egymást, és legyen az \(\displaystyle A_0\) pont az \(\displaystyle a\) körön. Definiáljuk sorra a \(\displaystyle B_0\), \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle A_2\) stb. pontokat úgy, hogy \(\displaystyle B_i\) az \(\displaystyle A_iP\) egyenes és \(\displaystyle b\) metszéspontja, majd \(\displaystyle A_{i+1}\) a \(\displaystyle B_iQ\) egyenes és \(\displaystyle a\) metszéspontja. (Ha \(\displaystyle A_i = P\), akkor \(\displaystyle A_iP\) egyenes alatt az \(\displaystyle a\) kör \(\displaystyle P\)-beli érintőjét értjük, illetve \(\displaystyle B_i = Q\) esetén \(\displaystyle B_iQ\) egyenes a \(\displaystyle b\) kör \(\displaystyle Q\)-beli érintője.) Mutassuk meg, hogy ha van olyan \(\displaystyle A_n\) (\(\displaystyle n\ge 2\)), amelyre \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle A_n\) egybeesik, akkor ez az \(\displaystyle a\) kör bármely \(\displaystyle A_0\) pontjára teljesül.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4827. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle p\) egy nem azonosan 0 egész együtthatós polinom, melyre \(\displaystyle p(n)\) minden \(\displaystyle n\) egész számra osztható 2016-tal. Legalább mennyi \(\displaystyle p\) együtthatói abszolút értékének összege?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4828. Legyen \(\displaystyle 0<x_1<x_2<\ldots<x_n<2\pi\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sum_{i,j=1;\; i\ne j}^n \frac{1}{|x_i-x_j|}+\frac{1}{2\pi-|x_i-x_j|}\ge \frac{n^2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-1} \frac 1k. \)

Mikor teljesül egyenlőség?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4829. Fedjük le az egységsugarú gömb felületét főkörökkel úgy, hogy minden pontot legfeljebb négy főkör tartalmazzon.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4830. Oldjuk meg a pozitív egész számok körében a következő egyenletet:

\(\displaystyle n!=2^a+2^b. \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.


A. 680. Legyen \(\displaystyle M(x)\) olyan valós együtthatós polinom, amelynek nincs valós gyöke. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle P(x)\) valós együtthatós polinomhoz létezik olyan \(\displaystyle Q(x)\) valós együtthatós polinom, amelyre \(\displaystyle P{(x)}^2+Q{(x)}^2\) osztható az \(\displaystyle M(x)\) polinommal.

(2016. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 681. Az \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) pozitív számokra \(\displaystyle \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2} +\ldots+\sqrt{a_n}=1\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle {a_1}^{a_1}\cdot {a_2}^{a_2}\cdot \ldots \cdot {a_n}^{a_n} \ge {(a_1+a_2+\ldots+a_n)}^2. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 682. Legyen \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1E_1F_1A_2B_2C_2D_2E_2F_2\) olyan húrtizenkétszög, amelyben az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\) és \(\displaystyle C_1C_2\) átlók egy ponton mennek át, az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) átlók egy ponton mennek át, a \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle E_1E_2\) átlók egy ponton mennek át, végül a \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) átlók is egy ponton mennek át. Legyen \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_C\) és \(\displaystyle k_E\) három körív a tizenkétszög köré írt kör belsejében úgy, hogy \(\displaystyle k_A\) az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokat, \(\displaystyle k_C\) a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) pontokat, \(\displaystyle k_E\) pedig az \(\displaystyle E_1\) és \(\displaystyle E_2\) pontokat köti össze. A három körív metszéspontjai legyenek \(\displaystyle B=k_A\cap k_C\), \(\displaystyle D=k_C\cap k_E\) és \(\displaystyle F=k_A\cap k_E\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B_1BB_2\), \(\displaystyle D_1DD_2\) és \(\displaystyle F_1FF_2\) körívek egy ponton mennek át. (Ezek a körívek egyenes szakasszá fajulnak, ha a megadott pontjaik egy egyenesre esnek.)

Marcello Mamino (Drezda), Luca Ghidelli (Ottawa) és Ilya Bogdanov (Moszkva)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley