KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


K. 523. Induljunk ki egy kétjegyű pozitív egész számból, és szorozzuk össze a számjegyeit. Ha kétjegyű számot kaptunk, ismét szorozzuk össze a kapott szám számjegyeit, és ezt folytassuk mindaddig, amíg egyjegyű számhoz nem jutunk. Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyből kiindulva a 8-at kapjuk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 524. Andi mosógépe a program lejárta után még 5 percig zárva tartja az ajtót, és csak ez után lehet kinyitni. Andi ezt tudja, így a mosásra szánt időbe ezt is belekalkulálja. Amikor a mosógép kijelzőjén az látszik, hogy a program időtartamából 90% már eltelt, Andi mosásra szánt idejének még a 20%-a van hátra. Hány perces a mosógép programja?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 525. Egy kör kerületére hat számot írtunk és közülük bekarikázzuk azokat, melyek kisebbek a szomszédjaik átlagánál. Hány számot karikázhatunk be így?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 526. Az ábrán minden betű és szám különböző prímszámok, valamint bármely négy, ,,egy egyenesben'' fekvő háromszögben lévő szám összege egyenlő. Mekkora ennek az összegnek a legkisebb lehetséges értéke?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 527. Számoljuk ki a 6 cm sugarú körbe írható szabályos tizenkétszög területét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 528. Egy szabályos hétszög csúcsaihoz odaírtuk a számokat 1-től 14-ig úgy, hogy minden oldalán (azaz az oldalon levő két csúcsot tekintve) a számok összege egyforma.

\(\displaystyle a)\) Mennyi ez az összeg? Mutassunk egy jó megvalósítást.

\(\displaystyle b)\) Lehet-e olyan csúcs, amihez nem írtunk számot?

\(\displaystyle c)\) Mi lehet az egyes csúcsoknál az odaírt számok összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


C. 1385. Egy férfi ruhatárában öt kockás ing található, ebből kettő barna, egy kék. Hét barna ingje van, ebből három csíkos. A három kék ing között viszont nincsen csíkos. Ezeken kívül csak nyolc piros ingje van, aminek a fele csíkos. Tudjuk továbbá, hogy három nadrágot hord: egy kék csíkosat, egy barna kockásat, illetve egy szürke csíkosat. Hányféleképpen vehet föl egy nadrágot és egy inget, ha nem vesz kéket barnához és csíkosat kockáshoz?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1386. Hány különböző konvex síkidomot lehet összeilleszteni négy darab egybevágó, egyenlő szárú derékszögű háromszögből?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1387. Határozzuk meg a számrendszer \(\displaystyle x\) alapját, ha teljesül az alábbi egyenlet:

\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1388. Egy téglalap alakú biliárdasztal elülső, illetve hátsó szegélye 90 cm, a bal, illetve jobb oldali szegélye pedig 180 cm. Az asztal elülső szegélyétől 10 cm-re és a bal oldali szegélytől 15 cm-re elhelyezkedő golyót úgy lökjük meg, hogy az előbb az asztal elülső szegélyének, majd a jobb oldali szegélynek ütközve a legrövidebb úton beguruljon a bal hátsó sarokban lévő lyukba. Milyen hosszú utat fut be a golyó a lyukig? (A golyó és a lyuk méretét elhanyagolhatónak tekintjük.)

Javasolta: Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1389. Melyek a közös pontjai az \(\displaystyle y={(x-1)}^2\) és az \(\displaystyle y=1-\sqrt x\) egyenletű görbéknek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1390. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög (ahol a \(\displaystyle C\) csúcsnál van a derékszög) \(\displaystyle C\)-ből kicsinyített képe \(\displaystyle A'B'C\), ahol a hasonlóság aránya negatív, \(\displaystyle BC=5\), \(\displaystyle {B'C=0{,}2}\) és \(\displaystyle \tg \alpha =2{,}4\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelező és a \(\displaystyle B'\)-ből induló külső szögfelező metszéspontja az \(\displaystyle AA'\) felezőpontjába esik.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1391. Marci születése óta minden karácsonyra annyi 32 lapos kártyapaklit kap, ahányadik karácsonyát ünnepli. Egyszer, karácsony másnapján, éppen a születésnapján úgy döntött, hogy különleges kártyavárat épít az addig kapott lapokból. A legalsó szintre 216 darab lapot rakott, majd ezután minden szintre 8-cal kevesebb került, mint az alatta levőre. Hány éves volt ekkor Marci, ha 16 szintet sikerült megépítenie?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


B. 4831. ,,Zsebszámológépünkkel'' csak összeadni, kivonni és reciprokot képezni tudunk. Megkaphatjuk-e az 1-et eredményül, ha a kiindulási szám \(\displaystyle \sqrt{20}\,+16\)? (A számolás során a kiindulási számot és minden részeredményt külön tárolóban tudunk tárolni és azokat többször is felhasználhatjuk.)

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4832. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív egész számokhoz találhatók olyan egymáshoz relatív prím \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) pozitív számok, hogy \(\displaystyle ar+bs\) osztható \(\displaystyle c\)-vel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4833. Az \(\displaystyle R\) sugarú kör félkörnél kisebb körcikkébe beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a körcikket határoló körív végpontjait összekötő húr hossza \(\displaystyle 2a\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac 1r= \frac 1R+ \frac 1a. \)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4834. Legyen az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög köréírt körének középpontja a \(\displaystyle K\) pont. A \(\displaystyle K\)-n keresztül \(\displaystyle AB\)-vel húzott párhuzamos egyenes a \(\displaystyle BC\) egyenest a \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle CA\) egyenest pedig az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Hasonlóan, a \(\displaystyle K\)-n keresztül a \(\displaystyle BC\)-vel húzott párhuzamosnak a \(\displaystyle CA\) egyenessel vett metszéspontja az \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BA\) egyenessel vett metszéspontja pedig a \(\displaystyle G\) pont. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle E\) középpontú \(\displaystyle EA\) sugarú, az \(\displaystyle F\) középpontú \(\displaystyle FC\) sugarú, valamint az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4835. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\(\displaystyle x+y+z =3,\)

\(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} =7,\)

\(\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3} =15.\)

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4836. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogrammában \(\displaystyle BC=\lambda\, AB\). Az \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezők metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma hányadrészét fedi le az \(\displaystyle ABM\triangle\)?

Javasolta: Kozma József (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4837. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) függvényt, amelyre

\(\displaystyle (x+1)\cdot f(x+2)-2(x+2)\cdot f(-x-1)=3x^2+8x+3. \)

Javasolta: Szöllősy György (Máramarossziget)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4838. A \(\displaystyle \mathcal{P}\) középpontosan szimmetrikus, konvex poliéderre teljesül a következő: \(\displaystyle \mathcal{P}\) bármely két \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) csúcsa vagy átellenes, vagy található hozzájuk egy olyan lapja \(\displaystyle \mathcal{P}\)-nek, ami mindkettőt tartalmazza. Mutassuk meg, hogy ekkor \(\displaystyle \mathcal{P}\) vagy paralelepipedon, vagy \(\displaystyle \mathcal{P}\) csúcsai éppen egy paralelepipedon lapközéppontjai.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4839. Oldjuk meg a pozitív egész számok körében a következő egyenletet:

\(\displaystyle n!= 2^a - 2^b. \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


A. 683. Legyen \(\displaystyle K=(V,E)\) véges, egyszerű, teljes gráf. Legyen \(\displaystyle \phi\colon E\to\mathbb{R}^2\) olyan leképezése az élhalmaznak a síkra, hogy az értékkészlet bármely pontjának ősképe összefüggő gráfot alkot az egész \(\displaystyle V\) csúcshalmazon, továbbá \(\displaystyle K\) bármely háromszögének éleihez rendelt pontok egy egyenesen vannak. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \phi\) értékkészlete egy egyenesen van.

(2016. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

statisztika


A. 684. Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) racionális számok, amelyekre

\(\displaystyle x - \frac1x + y - \frac1y = 4. \)

Koreai feladat

(5 pont)

statisztika


A. 685. Legyen \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) két húr az \(\displaystyle \Omega\) körben. Válasszunk ki egy olyan \(\displaystyle \omega\) kört, amely érinti az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) szakaszokat az \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) belső pontjaikban, és metszi az \(\displaystyle \Omega\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban. Tegyük fel, hogy egy \(\displaystyle \Omega\)-tól és \(\displaystyle \omega\)-tól különböző harmadik kör, \(\displaystyle \omega'\) szintén átmegy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokon, és metszi az \(\displaystyle MN\) egyenest az \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) egy olyan kúpszeleten vannak, amely érinti az \(\displaystyle \omega'\) kört az \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) pontokban.

Javasolta: Ilya Bogdanov és Pavel Kozhevnikov (Moszkva)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley