Problem A. 470. (January 2009)
A. 470. In the triangle ABC, denote by A1, B1, and C1 the feet of altitudes. Let P be the perpendicular foot C1 on line A1B1, and let Q be that point of line A1B1 for which AQ=BQ. Show that PAQ=PBQ=PC1C.
(5 pont)
Deadline expired on February 16, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor a háromszögnek A-nál és B-nél hegyesszöge van. Ha a két szög egyenlő, akkor P=Q, és az állítás semmitmondó, mert PAQ=PBQ=PC1C=0. Ezért feltehetjük, hogy CABABC.
Legyen R az AB és A1B1 egyenesek metszéspontja, és jelöljük AB felezőpontját F-fel. Mivel AA1B=AB1B=90o, illetve CFQ=CPQ=90o, az ABA1B1 és CFQP négyszögek húrnégyszögek. Továbbá azt is tudjuk, hogy az A1,B1,C1,F pontok a háromszög Feuerbach-körén vannak. Az R pont hatványa ezekre a körökre egyenlő:
(1) | RA.RB=RA1.RB1=RC1.RF=RP.RQ. |
Mivel tehát RA.RB=RP.RQ, az A,B,P,Q pontok is egy körön vannak.
Az A1 és B1 pontok az AB egyenesnek a C-t tartalmazó oldalán vannak, az R pont az AB szakaszon kívül van. Az (1) képletben szereplő szorzatok mind pozitívak, és a R pont pedig a körökön kívülre esik. Ebből következik, hogy a P,Q pontok is az AB egyenesnek a C-t tartalmazó az oldalán vannak.
Legyen S az ABPQ körön a Q-val átellenes pont. Ezen átmegy az AB oldal FQ felező merőlegese is, továbbá a PC1 egyenes is, mivel QPC=90o. Mivel CC1 párhuzamos QS-sel,
PC1C=PSQ.
A kerületi szögek tételéből pedig
PAQ=PBQ=PSQ.
Abban az esetben, ha CAB>90o vagy ABC>90o, az állítás pontosításra szorul. Ilyenkor ugyanis az R pont az AB szakasz belsejébe esik, és az P,Q pontok AB-nek ellentétes oldalára esnek. Emiatt például a PAQ és PBQ szögek nem egyenlőek, hanem az összegük 180o.
(Az állítás az általános esetben is igaz marad, ha előjeles szögekkel mondjuk ki.)
Statistics:
7 students sent a solution. 5 points: Éles András, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tomon István. 3 points: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009