Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem A. 470. (January 2009)

A. 470. In the triangle ABC, denote by A1, B1, and C1 the feet of altitudes. Let P be the perpendicular foot C1 on line A1B1, and let Q be that point of line A1B1 for which AQ=BQ. Show that \anglePAQ=\anglePBQ=\anglePC1C.

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor a háromszögnek A-nál és B-nél hegyesszöge van. Ha a két szög egyenlő, akkor P=Q, és az állítás semmitmondó, mert PAQ\angle=PBQ\angle=PC1C\angle=0. Ezért feltehetjük, hogy CAB\angle\neABC\angle.

Legyen R az AB és A1B1 egyenesek metszéspontja, és jelöljük AB felezőpontját F-fel. Mivel AA1B\angle=AB1B\angle=90o, illetve CFQ=CPQ\angle=90o, az ABA1B1 és CFQP négyszögek húrnégyszögek. Továbbá azt is tudjuk, hogy az A1,B1,C1,F pontok a háromszög Feuerbach-körén vannak. Az R pont hatványa ezekre a körökre egyenlő:

(1)RA.RB=RA1.RB1=RC1.RF=RP.RQ.

Mivel tehát RA.RB=RP.RQ, az A,B,P,Q pontok is egy körön vannak.

Az A1 és B1 pontok az AB egyenesnek a C-t tartalmazó oldalán vannak, az R pont az AB szakaszon kívül van. Az (1) képletben szereplő szorzatok mind pozitívak, és a R pont pedig a körökön kívülre esik. Ebből következik, hogy a P,Q pontok is az AB egyenesnek a C-t tartalmazó az oldalán vannak.

Legyen S az ABPQ körön a Q-val átellenes pont. Ezen átmegy az AB oldal FQ felező merőlegese is, továbbá a PC1 egyenes is, mivel QPC\angle=90o. Mivel CC1 párhuzamos QS-sel,

PC1C\angle=PSQ\angle.

A kerületi szögek tételéből pedig

PAQ\angle=PBQ\angle=PSQ\angle.

 

Abban az esetben, ha CAB\angle>90o vagy ABC\angle>90o, az állítás pontosításra szorul. Ilyenkor ugyanis az R pont az AB szakasz belsejébe esik, és az P,Q pontok AB-nek ellentétes oldalára esnek. Emiatt például a PAQ és PBQ szögek nem egyenlőek, hanem az összegük 180o.

(Az állítás az általános esetben is igaz marad, ha előjeles szögekkel mondjuk ki.)


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Éles András, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tomon István.
3 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009