Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem A. 527. (February 2011)

A. 527. Find all real numbers p for which the equation x3+3px2+(4p-1)x+p=0 has two real roots with difference 1.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A polinomból mindig kiemelhetó az x+1 tényező:

x3+3px2+(4p-1)x+p=(x+1)(x2+(3p-1)x+p)

Az egyik gyök tehát a -1, a másik két gyök az x2+(3p-1)x+p egyenlet két gyöke. Ezért három esetet különböztethetünk meg:

1. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak gyöke a 0. Behelyettesítve, ez akkor igaz, ha p=0.

2. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak gyöke a -2. Behelyettesítve, ez akkor igaz, ha (-2)2+(3p-1).(-2)+p=-5p+6=0, azaz p=6/5.

3. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

Legyen a két gyök u és v. A Viéte-formulák szerint u+v=-3p+1 és uv=p. Ebből

1=(u-v)2=(u+v)2-4uv=(-3p+1)2-4p=9p2-10p+1,

p(9p-10)=0,

p=0 vagy p=10/9.

Ha p=0, akkor az x2+(3p-1)x+p=x2-x polinomnak valóban van két valós gyöke: 0 és 1, ezek különbsége 1.

Ha p=10/9, akkor az x^2+(3p-1)x+p=x^2+\frac73x+\frac{10}0 polinomnak szintén van két valós gyöke: \frac23 és \frac53, és ezek különbsége is 1.

A feltételeknek megfelelő p értékek tehát:

p A két gyök
0 -1 és 0, vagy pedig 0 és 1
\frac65 -2 és -1
\frac{10}9 \frac23 és \frac53

Megjegyzések. 1. A -1 szerkesztői figyelmetlenség miatt lett mindig gyöke a polinomnak... :-(

2. A kérdés valójában az, hogy az f(x)=x3+3px2+(4p-1)x+p és f(x+1)=x3+(3p+3)x2+(10p+2)x+8p polinomoknak milyen p értékekre van közös gyöke. Ha komplex gyököket is megengedünk, akkor a közös gyök létezésének ekvivalens feltétele, hogy a két polinom rezultása 0 legyen:

S_{f(x),f(x+1)} = \det\left(\matrix{ 1 & 3p & 4p-1 & p & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 3p & 4p-1 & p & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 3p & 4p-1 & p \cr 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p \cr }\right) = 0

Ez p-re egy negyedfokú egyenletet ad.

Azt nem nehéz meggondolni, hogy két, nem tisztán valós gyök különbsége nem lehet 1, mert ezek konjugáltjai is gyökök lennének, és így a harmadfokú egyenletnek már négy különböző gyöke lenne.

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Forrás Bence, Lenger Dániel, Mester Márton, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Schwarcz Gergő, Szabó 928 Attila, Tóth Balázs, Viharos Andor, Vuchetich Bálint.
4 points:Ágoston Péter, Backhausz Tibor, Bágyoni-Szabó Attila, Dolgos Tamás, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Strenner Péter, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 points:5 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011