Problem A. 576. (December 2012)

A. 576. Find all positive integers n, nonzero reals $c_1,c_2,\ldots,c_n$ and real t for which there exists a finite, nonempty set $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ of points in the plane S and a nonconstant function $f\colon S\to\mathbb{R}$ such that

$\sum_{i=1}^n c_if\big(\varphi(A_i)\big)=t$

for every similarity transformation $\varphi$ of the plane S.

Proposed by: Tamás Ágoston, Budapest and Márton Mester, Cambridge

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen tetszőleges $\varphi$ -ra P_1,i= $\varphi$ (A_i) minden i-re. Legyen Q egy minden P_1,i-től különböző pont a síkon. Ekkor legyen a Q középpontú, P_1,1-et P_1,i-be vivő (egyértelmű) forgatva nyújtás aránya $\lambda$ _i, szöge (pozitív irányban) $\alpha$ _i minden i-re. A P_1,1 középpontú, $\lambda$ _j arányú, $\alpha$ _j szögű forgatva nyújtás vigye a P_1,i pontot a P_j,i pontba minden i és j esetén.

Ekkor P_1,1=P_2,1=^...=P_n,1, valamint minden j-re a $P_{j,1},P_{j,2},\ldots,P_{j,n}$ pontokhoz van olyan ${\cal G}_j$ hasonlósági transzformációja S-nek, hogy minden i-re ${\cal G}_j(A_i)=P_{j,i}$ , hiszen ez a $\varphi$ és a P_1,1 középpontú, $\alpha$ _j szögű, $\lambda$ _j arányú forgatva nyújtás egymásutánja.

És minden i $\geq$ 2-re létezik S-nek olyan ${\cal F}_i$ hasonlósági transzformációja, hogy minden j-re ${\cal F}_i(A_j)=P_{j,i}$ . Ugyanis ha ${\cal F}'_i$ az az egyértelmű körüljárástartó hasonlósági transzformációja S-nek, melyre Q képe P_1,1, és P_1,1 képe P_1,i, akkor a $\varphi$ és a ${\cal F}'_i$ szorzata megfelel ${\cal F}_i$ -nek. Hiszen minden j-re a P_j,i pont definíciója szerint a P_1,iP_1,1P_j,i irányított szög $\alpha$ _j=P_1,1QP_1,j $\angle$ , és ${\overline{P_{1,1}P_{j,i}}\over\overline{P_{1,1}P_{1,i}}}=\lambda_j={\overline{QP_{1,j}}\over\overline{QP_{1,1}}}$ , vagyis ${\cal F}_i(A_j)={\cal F}'_i\left(\varphi(A_j)\right)={\cal F}'_i(P_{1,j})=P_{j,i}$ .

Így az f-re adott föltételt használva

$\displaylines{ \sum_{j=1}^n{c_j\over c_1}t=\sum_{j=1}^n\left({c_j\over c_1}\sum_{i=1}^n c_if({\cal G}_j(A_i))\right)= \sum_{j=1}^n\left({c_j\over c_1}\sum_{i=1}^n c_if(P_{j,i})\right)=\cr =\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+ \sum_{i=2}^n\left({c_i\over c_1}\sum_{j=1}^n c_jf(P_{j,i})\right)=\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+ \sum_{i=2}^n\left({c_i\over c_1}\sum_{j=1}^n c_jf({\cal F}_i(A_j))\right)=\cr =\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+\sum_{i=2}^n{c_i\over c_1}t.\cr }$

Ebből azonnal adódik, hogy

$f(P_{1,1})\sum_{j=1}^nc_j={c_1\over c_1}t=t,$

azaz ha $\sum_{j=1}^nc_j\neq 0$ , akkor minden $\varphi$ esetén, és így minden P_1,1 pontra

$f(P_{1,1})={t\over\sum_{j=1}^nc_j},$

vagyis f mindenképpen konstans függvény.

Ha $\sum_{j=1}^nc_j=0$ , akkor a föntiekből t=0 is rögtön adódik. Ha n=1, akkor c₁=0, és a föltétel üres (0=0), így nyilván van nemkonstans megoldás. Ha n=2, akkor c₂=-c₁, így a föltétel az, hogy tetszőleges P,Q $\in$ S esetén (két különböző pont tetszőleges két másik különböző pontba átvihető hasonlósági transzfromációval) c₁f(P)-c₁f(Q)=0, vagyis f(P)=f(Q), azaz ekkor a függvény mindenképpen konstans. A továbbiakban az n $\geq$ 3 esettel foglalkozunk.

Jó nemkonstans f függvényt pedig mindig tudunk találni az A ponthalmaz alkalmas választásával. Ha az S sík pontjait megkoordinátázzuk, akkor legyenek az $A_1,A_2,\ldots,A_n$ pontok koordinátái rendre $(x_1,0),(x_2,0),\ldots,(x_n,0)$ , ahol ezekre $\sum_{i=1}^nc_ix_i=0$ , az f függvény pedig képezze az (x,y) pontot az x-be. Ez a függvény nemkonstans, és belátjuk, hogy teljesíti a föltételeket.

(Ilyen tulajdonságú, különböző x_i-ket mindig tudunk választani, hiszen ha az $x_1,x_2,\ldots,$ x_n-1 értékeket tetszőleges különböző valós számoknak megválasztjuk, akkor c_n $\neq$ 0 miatt ezekhez egyértelműen létezik egy jó $x_n=-{\sum_{i=1}^{n-1}c_ix_i\over c_n}$ . És ha ez valamelyik x_i-vel egyenlő lenne, akkor egy j $\neq$ i, 1 $\leq$ j $\leq$ n-1 egészre az x_j értékét egy olyan $\varepsilon$ -nal megnövelve, hogy $\varepsilon$ >0, és $\left|{c_j\over c_n}\right|\varepsilon+\varepsilon<\min\limits_{1\leq k<\ell\leq n-1}{\left|x_k-x_{\ell}\right|}$ (ilyen $\varepsilon$ van, hiszen c_n $\neq$ 0, és a kifejezésben $x_k\neq x_{\ell}$ ), a kapott $x_1',x_2',\ldots,x_n'$ jó lesz (az x_n' értékét az új x_k' értékekből számoljuk). Ugyanis az x_j nő $\varepsilon$ -nal, az x_n csökken ${c_j\over c_n}\varepsilon$ -nal, a többi x_k pedig nem változik. Így $\varepsilon$ >0 és c_j>0 miatt x_n' $\neq$ x_i=x_i', és az $\varepsilon$ -ra adott föltétel miatt $\left(1+\left|{c_j\over c_n}\right|\right)\varepsilon<|x_i-x_j|=|x_n-x_j|$ , vagyis x_n' $\neq$ x_j', valamint minden i,j-től különböző k-ra $\left(1+\left|{c_j\over c_n}\right|\right)\varepsilon<|x_i-x_k|=|x_n-x_k|$ , így x_n' $\neq$ x_k'. És végül ugyanemiatt x_j' se lesz egyenlő semelyik x_k'-vel sem. Tehát valóban jó x_k értékeket kaptunk.)

Ha tekintjük a $\varphi(A)=\{\varphi(A_1),\varphi(A_2),\ldots,\varphi(A_n)\}$ halmazt, akkor azon az egyenesen, melybe a $\varphi$ az x-tengelyt vitte, vagyis amelyiken ezek a pontok vannak, a hasonlóság miatt a $\varphi$ (A_i) pontok ugyanolyan arányokban osztják a $\varphi$ (A₁) $\varphi$ (A₂) szakaszt (negatív arányokat is megengedünk, az osztási arányon az $\varphi$ (A₁) $\varphi$ (A_i) és a $\varphi$ (A_i) $\varphi$ (A₂) irányított szakaszok arányát értve), mint az A_i az A₁A₂ szakaszt. Így ez akkor is igaz, ha a $\varphi$ (A_j) pontok helyett ezeknek az x-tengelyre vett merőleges vetületeit nézzük, és így a $\varphi$ (A_j) pontok x_j'-vel jelölt x-koordinátáira vannak olyan $\lambda$ és s valós számok, hogy minden j-re

x_j'= $\lambda$ x_j+s.

Így

$\sum_{i=1}^nc_if(\varphi(A_i))=\sum_{i=1}^nc_i(\lambda x_i+s)=\lambda\sum_{i=1}^nc_ix_i+s\sum_{i=1}^nc_i=\lambda\sum_{i=1}^nc_ix_i,$

amiről pedig már A megválasztásánál biztosítottuk, hogy 0 legyen.

Tehát pontosan akkor létezik a kívánt tulajdonságú f függvény és A ponthalmaz, ha $\sum_{i=1}^nc_i=0$ , t=0, és n $\neq$ 2.

Statistics:

1 student sent a solution.

1 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

Already signed up?
New to KöMaL?