Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Az A. 710. feladat (2017. december)

A. 710. Mely \(\displaystyle n\)-re lehet felbontani egy szabályos \(\displaystyle n\)-szöget véges sok háromszögre úgy, hogy semelyik két háromszögnek ne legyen közös oldala?

(2017. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle n=3\), létezik megfelelő konstrukció, akár több háromszögre is:

Belátjuk, hogy \(\displaystyle n\ge 4\) esetén azonban a kívánt konstrukció lehetetlen. Ehhez vizsgáljuk azt a síkgráfot, melynek csúcsai a háromszögek csúcsai, és élei a háromszögek oldalainak azon darabjai, melyek közvetlenül szomszédos csúcsokat kötnek össze. Legyen a háromszögek száma \(\displaystyle \ell\), a gráf csúcsainak és éleinek száma \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle e\).

\(\displaystyle (1)\) Euler képlete szerint \(\displaystyle c-e+\ell=1\).

\(\displaystyle (2)\) Számoljuk össze a szögeket: egyrészt a szögek összege \(\displaystyle \ell \pi\), másrészt minden belső csúcsnál a szögek összege mindig \(\displaystyle \pi\) vagy \(\displaystyle 2\pi\), tehát

\(\displaystyle \ell\pi \ge (c-n)\pi +(n-2)\pi.\)

\(\displaystyle (3)\) Számoljuk össze az oldalakat: ha egy háromszögoldal \(\displaystyle k\) részre van osztva, minden részre írjunk \(\displaystyle \frac1k\) értéket, ekkor egyrészt a felírt számok összege \(\displaystyle 3l\), másrészt a feltétel szerint az \(\displaystyle n\)-szög belsejében a gráf egy élére írt két szám összege \(\displaystyle \le 1+\frac12\) (az \(\displaystyle n\)-szög határán pedig csak egy szám lehet, ami \(\displaystyle \le 1\)). Emiatt

\(\displaystyle 3\ell\le \frac32(e-n)+n\le \frac32(e+1)-\frac72.\)

Befejezés. \(\displaystyle (3)\)-at, majd \(\displaystyle (1)\)-et, majd \(\displaystyle (2)\)-t alkalmazva ellentmondásra jutunk:

\(\displaystyle 2\ell+\frac73\le e+1=c+\ell\le 2\ell+2.\)


Statisztika:

Az A. 710. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai