Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem A. 710. (December 2017)

A. 710. For which \(\displaystyle n\) can we partition a regular \(\displaystyle n\)-gon into finitely many triangles such that no two triangles share a side?

(Based on a problem of the 2017 Miklós Schweitzer competition)

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az elrendezést makroszinten vizsgáljuk: a feltételeket az elrendezést jellemző kombinatorikus mennyiségek bizonyos tulajdonságaivá alakítjuk át.

Ha \(\displaystyle n=3\), létezik megfelelő konstrukció, akár több háromszögre is:

1. ábra

Belátjuk, hogy \(\displaystyle n\ge 4\) esetén azonban a kívánt konstrukció lehetetlen. Ehhez vizsgáljuk azt a síkgráfot, melynek csúcsai a háromszögek csúcsai, és élei a háromszögek oldalainak azon darabjai, melyek közvetlenül szomszédos csúcsokat kötnek össze. Legyen a háromszögek száma \(\displaystyle \ell\), a gráf csúcsainak és éleinek száma \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle e\).

\(\displaystyle (1)\) Euler képlete szerint \(\displaystyle c-e+\ell=1\).

\(\displaystyle (2)\) Számoljuk össze a szögeket: egyrészt a szögek összege \(\displaystyle \ell \pi\), másrészt minden belső csúcsnál a szögek összege mindig \(\displaystyle \pi\) vagy \(\displaystyle 2\pi\), tehát

\(\displaystyle \ell\pi \ge (c-n)\pi +(n-2)\pi.\)

\(\displaystyle (3)\) Számoljuk össze az oldalakat: ha egy háromszögoldal \(\displaystyle k\) részre van osztva, minden részre írjunk \(\displaystyle \frac1k\) értéket, ekkor egyrészt a felírt számok összege \(\displaystyle 3l\), másrészt a feltétel szerint az \(\displaystyle n\)-szög belsejében a gráf egy élére írt két szám összege \(\displaystyle \le 1+\frac12\) (az \(\displaystyle n\)-szög határán pedig csak egy szám lehet, ami \(\displaystyle \le 1\)). Emiatt

\(\displaystyle 3\ell\le \frac32(e-n)+n\le \frac32(e+1)-\frac72.\)

Befejezés. \(\displaystyle (3)\)-at, majd \(\displaystyle (1)\)-et, majd \(\displaystyle (2)\)-t alkalmazva ellentmondásra jutunk:

\(\displaystyle 2\ell+\frac73\le e+1=c+\ell\le 2\ell+2.\)


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Bukva Balázs, Gáspár Attila, Imolay András, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Weisz Máté.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017