Problem A. 714. (January 2018)

A. 714. Consider \(\displaystyle n\ge 2\) pairwise disjoint disks \(\displaystyle D_1,D_2,\dots,D_n\) on the Euclidean plane. For each \(\displaystyle k=1,2,\dots,n\), denote by \(\displaystyle f_k\) the inversion with respect to the boundary circle of \(\displaystyle D_k\). (Here, \(\displaystyle f_k\) is defined at every point of the plane, except for the center of \(\displaystyle D_k\).) How many fixed points can the transformation \(\displaystyle f_n\circ f_{n-1}\circ\cdots\circ f_1\) have, if it is defined on the largest possible subset of the plane?

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy minden ilyen függvénynek pontosan két fixpontja van.

Az egyszerűség kedvéért ezentúl az inverzív síkon dolgozunk, vagyis hozzáveszünk \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) halmazhoz egy \(\displaystyle \infty\)-nek nevezett elemet, és az \(\displaystyle f_k\) függvényt kiterjesztjük a teljes \(\displaystyle \mathbb{R}^2\cup\{\infty\}\)-re úgy, hogy \(\displaystyle D_k\) középpontjának képe \(\displaystyle \infty\) legyen és fordítva. Azt látjuk be, hogy az inverzív síkon két fixpontja van \(\displaystyle f_k\circ f_{k-1}\circ \dots\circ f_1\)-nek, amik az inverziósorozat során sosem képződnek \(\displaystyle \infty\)-be, vagyis amik az euklideszi síkon is fixpontok.

1. állítás. Az összes fixpont \(\displaystyle D_1\) vagy \(\displaystyle D_n\) zárt körlemezen van.

Bizonyítás. Ha egy \(\displaystyle p\) pont \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle D_n\) külsejében található vagy \(\displaystyle p=\infty\), akkor \(\displaystyle f_1(p)\) \(\displaystyle D_1\) belsejébe esik, majd \(\displaystyle f_2(f_1(p))\) \(\displaystyle D_2\) belsejébe esik, ..., \(\displaystyle (f_n\circ \dots\circ f_1)(p)\) pedig \(\displaystyle D_n\) belsejébe esik. Mivel \(\displaystyle p\) nem esik \(\displaystyle D_n\) belsejébe, ezért nem lehet fixpont. \(\displaystyle \blacksquare\)

2. állítás. Ha egy \(\displaystyle \rho\) sugarú zárt \(\displaystyle K\) körlemez egy \(\displaystyle r\) sugarú és \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör külsejében helyezkedik el, akkor \(\displaystyle K\)-nak \(\displaystyle k\)-ra vett inverz képe egy \(\displaystyle \frac{1}{\frac1{\rho}+\frac2{r}}\)-nél kisebb sugarú \(\displaystyle K'\) körlemez.

Bizonyítás. Illesszünk \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle K\) középpontjára egy \(\displaystyle e\) egyenest. Tudjuk, hogy \(\displaystyle K'\) egy \(\displaystyle e\)-re szimmetrikus körlemez lesz. Ha \(\displaystyle e\) a \(\displaystyle K\) határát az \(\displaystyle X,Y\) pontokban metszi, ahol \(\displaystyle x=OX<OY=y\), akkor \(\displaystyle K\) átmérője \(\displaystyle y-x=2\rho\), s így \(\displaystyle K'\) átmérője

\(\displaystyle \frac{r^2}{x}-\frac{r^2}{y}=\frac{r^2}{xy}(y-x)> \frac{r^2}{r(r+2\rho)}(y-x)=\frac{2}{\frac1{\rho}+\frac{2}{r}}.\,\blacksquare\)

3. állítás. Síkbeli nemüres korlátos zárt halmazok \(\displaystyle K_1\supset K_2\supset \dots\) sorozatának van közös pontja.

Bizonyítás. Válasszunk tetszőlegesen egy \(\displaystyle p_1,p_2,\dots\) pontsorozatot, melyre \(\displaystyle p_i\in K_i\). Mivel \(\displaystyle (p_i)\) sorozat \(\displaystyle K_1\)-ben van, és \(\displaystyle K_1\) zárt és korlátos lévén kompakt, ezért van konvergens részsorozata. Ha pedig egy részsorozat \(\displaystyle p\)-hez konvergál, akkor \(\displaystyle K_j\) zártsága miatt \(\displaystyle p\in K_j\) adódik, s így \(\displaystyle p\in\bigcap K_j\). \(\displaystyle \blacksquare\)

Megjegyzés. A laikus olvasó számára ezen fogalmak például a Napkin nevű jegyzetből könnyen elsajátíthatók. (Ez koherensebb képet ad, mint a Wikipédia-böngészés, és gyorsabb, mint egy tankönyv fürkészése.)

4. állítás. Pontosan egy fixpont található \(\displaystyle D_n\) zárt körlemezen.

Bizonyítás. Legyen \(\displaystyle F:=f_n\circ f_{n-1}\circ\dots\circ f_1\), és tekintsük a

sorozatot, ahol \(\displaystyle \Sigma\subset \mathbb{R}^2\cup \{\infty\}\)-re \(\displaystyle F(\Sigma):=\{F(p)|p\in\Sigma\}\). Világos, hogy a sorozat minden tagja \(\displaystyle D_n\) zárt körlemezen fekvő körlemez.

A 2. állítás szerint egy \(\displaystyle D_1\) belsejétől diszjunkt \(\displaystyle \rho\) sugarú \(\displaystyle K\) körlemezre \(\displaystyle f_1(K)\) egy \(\displaystyle D_1\)-en lévő \(\displaystyle \rho'<\frac1{\frac1{\rho}+\frac2{r}}\) sugarú kör (ahol \(\displaystyle r\) jelöli \(\displaystyle D_1\) sugarát). Ezt követően a 2. állításból adódik, hogy \(\displaystyle f_2(f_1(K))\) egy legfeljebb \(\displaystyle \rho'\) sugarú körlemez \(\displaystyle D_2\)-n, stb. Tehát \(\displaystyle F(K)\) olyan körlemez \(\displaystyle D_n\)-en, melynek sugara legfeljebb \(\displaystyle \rho'\).

Visszatérve az \(\displaystyle (1)\) sorozatra, a \(\displaystyle \rho_0,\rho_1,\rho_2,\dots\) sugaraikra így teljesül, hogy

ahol \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle D_1\) sugara. Mivel \(\displaystyle (\rho_i)\) monoton csökkenő és pozitív számokból álló sorozat, ezért egy \(\displaystyle c\ge 0\) határértékhez konvergál. Ekkor \(\displaystyle (2)\) két oldalának határértékét véve

\(\displaystyle c\le \frac{c}{1+\frac{2c}{r}}\)

adódik, ami \(\displaystyle c>0\)-ra nem állhat fenn, így \(\displaystyle c=0\). Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle (1)\) sorozatnak legfeljebb \(\displaystyle 1\) közös pontja lehet, hiszen ha \(\displaystyle 2\) közös pontja lenne, azokat a sorozat kellően kis sugarú tagja nem fedné le egyszerre.

Mivel azonban \(\displaystyle D_n\supset F(D_n)\), ezért \(\displaystyle F(D_n)\supset F(F(D_n))\) stb., s így a 3. állítást alkalmazva kapjuk, hogy \(\displaystyle (1)\) sorozatnak van közös \(\displaystyle p\) pontja. Mivel \(\displaystyle F(p)\) is közös pontja az \(\displaystyle (1)\) sorozatnak, ezért \(\displaystyle F(p)=p\). Sőt, \(\displaystyle F\) minden \(\displaystyle q\) fixpontjára \(\displaystyle q\in D_n\)-ből \(\displaystyle q=F(q)\in F(D_n)\), \(\displaystyle q\in F(F(D_n))\) stb. következik, így \(\displaystyle F\)-nek csakis \(\displaystyle p\) lehet fixpontja. Tehát \(\displaystyle F\)-nek pontosan egy fixpontja van. \(\displaystyle \blacksquare\)

Megjegyzés. A 2. állításhoz hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle F\) kontrakció s így a Banach-féle fixponttétel egyenes következménye a 4. állítás. (Kevéssé lényeglátó, de ugyanúgy megfelelő módon például a Brouwer-féle fixponttétel vagy a Borsuk-Ulam-tétel segítségével is beláthattuk volna az állítást.)

A megoldás befejezése. Az 1. állítás szerint egy fixpont vagy \(\displaystyle D_1\)-nek, vagy \(\displaystyle D_n\)-nek pontja.

A 3. állítás szerint \(\displaystyle F=f_n\circ\dots\circ f_1\)-nek pontosan egy fixpontja van \(\displaystyle D_n\)-en, s mint könnyen végigkövethető, eme fixpont képe az euklideszi síkon definiált \(\displaystyle F\)-re is értelmezett.

A 3. állítást alkalmazva kapjuk azt is, hogy \(\displaystyle F^{-1}=f_1\circ\dots \circ f_n\)-nek pontosan egy \(\displaystyle p\) fixpontja van \(\displaystyle D_1\)-en, ami nyilván \(\displaystyle F\)-nek is fixpontja. Állítjuk, hogy \(\displaystyle p\) képe az euklideszi síkon definiált \(\displaystyle F\)-re értelmezett, vagyis hogy a

\(\displaystyle p,f_1(p),(f_2\circ f_1)(p),\dots,(f_{n-1}\circ \dots\circ f_1)(p)\)

sorozatban a \(\displaystyle \infty\) nem fordul elő. Ha azonban \(\displaystyle (f_k\circ\dots\circ f_1)(p)=\infty\) teljesülne, akkor \(\displaystyle \infty\) fixpontja lenne az \(\displaystyle f_{k}\circ \dots\circ f_1\circ f_n\circ\dots\circ f_{k+1}\) függvénynek, ami azonban ellentmondás, hisz \(\displaystyle \infty\) képe ekkor \(\displaystyle D_k\) belsejébe esne.

Ezzel tehát beláttuk, hogy az euklideszi sík lehető legbővebb részhalmazán értelmezett \(\displaystyle f_n\circ \dots\circ f_1\) függvénynek pontosan két fixpontja van.

Megjegyzés. Komplex számok segítségével azonnali bizonyítást adhatunk arra, hogy legfeljebb két fixpontja lehet \(\displaystyle F\)-nek az inverzív síkon (avagy térbeli inverzió után a gömbön). Az origó középpontú egységkörre való inverzió a \(\displaystyle z\mapsto \overline{(1/z)}\) függvény, s egy általános inverzió \(\displaystyle z\mapsto \frac{r^2}{\overline{z}-\overline{z_0}}+z_0\) alakú, ami egy komplex lineáris törtfüggvény konjugáltja. Két inverzió kompozíciója pedig komplex lineáris törtfüggvény. Ezért az \(\displaystyle F(F(z))=z\) egyenlet \(\displaystyle z\)-ben legfeljebb másodfokú, s így legfeljebb \(\displaystyle 2\) fixpont lehet, vagy pedig minden pont fix. Jelen esetben pedig például \(\displaystyle D_n\) körvonal pontjai nem fixpontok.

Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:	Bukva Balázs, Daróczi Sándor, Gáspár Attila, Imolay András, Márton Dénes, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid.
4 points:	Németh 123 Balázs, Szabó Kristóf.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018