Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 717. feladat (2018. február)

A. 717. Egy pozitív egészt lustának nevezünk, ha nincs \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb prímosztója. Mutassuk meg, hogy két szomszédos négyzetszám között legfeljebb két lusta szám lehet.

Javasolta: Gyenes Zoltán és Kós Géza (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A "lusta" számokat osszuk négy "típusba": ezek a \(\displaystyle k^2\), \(\displaystyle 2k^2\), \(\displaystyle 3k^2\), illetve \(\displaystyle 6k^2\) alakú számok.

Először azt mutatjuk meg, hogy két szomszédos négyzetszám között nem szerepelhet két azonos típusú lusta szám. Tegyük fel indirekte, hogy valamilyen \(\displaystyle a,x\) egészekkel és \(\displaystyle b\in\{2,3,6\}\) számokkal

\(\displaystyle a^2 < bx^2 < b(x+1)^2 <(a+1)^2. \)

Ekkor \(\displaystyle \frac{b(x+1)^2}{bx^2} < \frac{(a+1)^2}{a^2}\), átrendezve \(\displaystyle x>a\); ez viszont ellentmond annak, hogy \(\displaystyle (x+1)^2<(a+1)^2\).


Most tehát tegyük fel, hogy — a feladat állításával szemben — valamilyen \(\displaystyle a\) pozitív egésszel három lusta szám is szerepel \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle (a+1)^2\) között; mint láttuk, ez csak úgy lehet, ha egy-egy \(\displaystyle 2k^2\), \(\displaystyle 3k^2\), illetve \(\displaystyle 6k^2\) típusú számunk van:

\(\displaystyle a^2 < \quad 2^{p_1}3^{q_1}, \quad 2^{p_2}3^{q_2}, \quad 2^{p_3}3^{q_3} \quad < (a+1)^2. \)

A három lusta szám között egy-egy \(\displaystyle 2k^2\), \(\displaystyle 3k^2\), illetve \(\displaystyle 6k^2\) típusú van; emiatt \(\displaystyle p_1,p_2,p_3\) közül és \(\displaystyle q_1,q_2,q_3\) közül is pontosan az egyik páros, a másik kettő páratlan.

Feltételezzük, hogy \(\displaystyle a\ge3\) (a kis \(\displaystyle a\) értékeket majd a megoldás végén ellenőrizzük). Ekkor \(\displaystyle (a+1)^2<2a^2\), így az \(\displaystyle [a^2,(a+1)^2]\) intervallumban semelyik egész nem oszthatja semelyik másik egészt sem. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle 2^{p_1}3^{q_1}\), \(\displaystyle 2^{p_2}3^{q_2}\) és \(\displaystyle 2^{p_3}3^{q_3}\) számok sem lehetnek egymás osztói. Emiatt a \(\displaystyle p_1,p_2,p_3\) páronként különbözők, és a \(\displaystyle (q_1,q_2,q_3)\) sorozat ellentétesen rendezett, mint a \(\displaystyle (p_1,p_2,p_3)\) sorozat; az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle p_1<p_2<p_3\) és \(\displaystyle q_1>q_2>q_3\).

Vizsgáljuk most az

\(\displaystyle w = \frac{2^{p_1}3^{q_1} \cdot 2^{p_3}3^{q_3}}{2^{p_2}3^{q_2}} = 2^{p_1-p_2+p_3}\cdot 3^{q_1-q_2+q_3} \)

számot. A jobbalon mindkét kitevő pozitív: \(\displaystyle p_1-p_2+p_3>p_3-p_2>0\) és \(\displaystyle q_1-q_2+q_3>q_1-q_2>0\), továbbá, \(\displaystyle p_1,p_2,p_3\) és \(\displaystyle q_1,q_2,q_3\) között is pontosan az egyik páros, tehát \(\displaystyle p_1-p_2+p_3\) és \(\displaystyle q_1-q_2+q_3\) is páros. A \(\displaystyle w\) egy lusta négyzetszám.

A \(\displaystyle w\) számra

\(\displaystyle w > \frac{(a^2)^2}{(a+1)^2} > (a-1)^2, \quad\text{és}\quad w < \frac{((a+1)^2-1)^2}{a^2} = (a+2)^2, \)

ezért a \(\displaystyle w\) négyzetszám értéke csak \(\displaystyle a^2\) vagy \(\displaystyle (a+1)^2\) lehet. Bármelyik is következzen be, most már mind a négy típusú lusta szám előfordul az \(\displaystyle [a^2,(a+1)^2]\) intervallumban. Újra definiálva és rendezve a kitevőket, a négy lusta szám legyen

\(\displaystyle a^2 \le \quad 2^{u_1}3^{v_1}, \quad 2^{u_2}3^{v_2}, \quad 2^{u_3}3^{v_3}, \quad 2^{u_4}3^{v_4} \quad \le (a+1)^2, \)

ahol \(\displaystyle u_1<u_2<u_3<u_4\) és \(\displaystyle v_1>v_2>v_3>v_4\).

A lusta párok legnagyobb közös osztóira

\(\displaystyle 2^{u_1}3^{v_2} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_1}3^{v_1},2^{u_2}3^{v_2}\big) \le \big|2^{u_1}3^{v_1}-2^{u_2}3^{v_2}\big| \le 2a, \)

\(\displaystyle 2^{u_2}3^{v_3} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_2}3^{v_2},2^{u_3}3^{v_3}\big) \le \big|2^{u_2}3^{v_2}-2^{u_3}3^{v_3}\big| \le 2a, \)

\(\displaystyle 2^{u_3}3^{v_4} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_3}3^{v_3},2^{u_4}3^{v_4}\big) \le \big|2^{u_3}3^{v_3}-2^{u_4}3^{v_4}\big| \le 2a, \)

(egyenlőség legfeljebb csak az egyik egyenlőtlenségben lehet), összeszorozva

\(\displaystyle a^4 \le (2^{u_2}3^{v_2})\cdot(2^{u_3}3^{v_3}) \le 2^{u_1}3^{v_2}\cdot 2^{u_2}3^{v_3}\cdot 2^{u_3}3^{v_4} < (2a)^3 \)

\(\displaystyle a<8. \)

Ezzel igazoltuk az állítást \(\displaystyle a\ge8\) esetén.


Az \(\displaystyle a=1,2,\ldots,7\) esetekben a következő lusta számok fordulnak elő \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle (a+1)^2\) között:

$1\ldots4$ között:    $2$ és $3$;
$4\ldots9$ között:    $6$ és $8$;
$9\ldots16$ között:    $12$;
$16\ldots25$ között:    $18$ és $24$;
$25\ldots36$ között:    $27$ és $32$;
$36\ldots49$ között:    $48$;
$49\ldots64$ között:    $54$.
Tehát az állítás \(\displaystyle a\le7\) esetén is igaz.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Gáspár Attila, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Schrettner Jakab.
4 pontot kapott:Beke Csongor, Bukva Balázs, Matolcsi Dávid.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai