Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 719. feladat (2018. március)

A. 719. Legyen \(\displaystyle ABC\) nem egyenlőszárú háromszög körülírt körének, illetve beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), illetve \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle A\)-val szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle A_1\)-ben érinti, a \(\displaystyle B\)-vel szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle CA\)-t \(\displaystyle B_1\)-ben érinti, továbbá a \(\displaystyle C\)-vel szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle AB\)-t \(\displaystyle C_1\)-ben érinti. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB_1C_1\) háromszög magasságpontja, \(\displaystyle H\) pedig az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle PA_1\) felezőpontja, akkor \(\displaystyle HM\) és \(\displaystyle OI\) párhuzamosak.

Javasolta: Michael Ren (Andover, Massachusetts, USA)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle I\) pont vetülete \(\displaystyle BC,CA,AB\)-re legyen \(\displaystyle A',B',C'\) (ezek a beírt kör érintési pontjai). Ekkor ismert, hogy \(\displaystyle A'\) az \(\displaystyle A_1\) tükörképe \(\displaystyle BC\) felezőpontjára stb., amit abban foglalhatunk össze, hogy \(\displaystyle V\) pont vetülete \(\displaystyle BC,CA,AB\)-re \(\displaystyle A_1,B_1,C_1\), ahol \(\displaystyle V\) az \(\displaystyle I\) tükörképe \(\displaystyle O\)-ra.

A merőlegességek okán \(\displaystyle PB_1VC_1\) paralelogramma, vagyis \(\displaystyle P=B_1+C_1-V\) (ilyen jelölés esetén a pontokat helyvektoraikkal azonosítjuk). Innen

\(\displaystyle M=\frac12(A_1+B_1+C_1-V).\)

(Ez a szimmetria megsejthető, ha meglátjuk egy jó ábrán, hogy \(\displaystyle \overline{A_1P},\overline{B_1Q},\overline{C_1R}\) közös felezőpontban metsz, ahol \(\displaystyle P,Q,R\) az \(\displaystyle AB_1C_1,BC_1A_1,CA_1B_1\) magasságpontja.)

Ismert (a B.4773. feladat következménye, vagy adódik abból, hogy \(\displaystyle A'B'C'\) Feuerbach-körét a beírt körre invertálva, \(\displaystyle ABC\) körülírt körét kapjuk), hogy az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög \(\displaystyle G'\) súlypontja az \(\displaystyle IOV\) egyenes pontja:

Ha \(\displaystyle G,G_1\) az \(\displaystyle ABC,A_1B_1C_1\) súlypontjai, akkor, mint kibontással ellenőrizhető, \(\displaystyle G=\frac12(G'+G_1)\). Ezért \(\displaystyle d(G_1,IO)=2d(G,IO)\), ahol \(\displaystyle d(\cdot,\cdot)\) jelöli két ponthalmaz minimális távolságát. Azonban \(\displaystyle H-O=3(G-O)\) (arányok Euler-egyenesen) és \(\displaystyle 2(M-V)=3(G_1-V)\) (fenti egyenlőség átrendezése), így

\(\displaystyle d(H,IO)=3\cdot d(G,IO)=\frac32\cdot d(G_1,IO)=d(M,IO),\)

tehát \(\displaystyle HM\) és \(\displaystyle IO\) párhuzamosak.

Megjegyzés. Érdemes meglátni e feladat laza kapcsolódását a B.4790. feladathoz, melyben a három egyenes \(\displaystyle O\)-ra való tükörképei az \(\displaystyle ABC\) magasságpontján haladnak át, mert a magasságpontnak a \(\displaystyle \overline{BC}\) felezőpontjára való tükörképe az \(\displaystyle ABC\) körön \(\displaystyle A\)-val átellenes pont.

Egy másik, ügyes számolást alkalmazó megközelítés, hogy a sík pontjait \(\displaystyle AB,AC\) számegyenesekre való \(\displaystyle u,v\) vetületeik szerint paraméterezzük. Ebben a koordináta-rendszerben levezetve adott irányú egyenes egyenletét, a feladatbeli pontok könnyen számolhatók \(\displaystyle ABC\) oldalainak segítségével (a koszinusztételt felhasználva).


Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bukva Balázs, Gáspár Attila, Imolay András, Matolcsi Dávid, Szabó Kristóf.
4 pontot kapott:Márton Dénes.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai