Problem A. 723. (April 2018)

A. 723. Let \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) be a continuous function such that the limit

\(\displaystyle g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \)

exists for all real \(\displaystyle x\). Prove that \(\displaystyle g(x)\) is constant if and only if \(\displaystyle f(x)\) is a polynomial function whose degree is at most \(\displaystyle 2\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Mivel az egyes lépések pontos végrehajtását sokkal tanulságtalanabb olvasni, mint papíron (vagy fejben) megcsinálni, vázlatosan közöljük a megoldást. Lényegében a Rolle-tétel bizonyításának ötletével mondunk valamit \(\displaystyle g\) értékéről, majd egy további csavarral ellentmondásra jutunk.

Megoldás (vázlat). Az \(\displaystyle f\) függvényhez rendelhető \(\displaystyle g\) függvényt nevezzük \(\displaystyle f\) duriváltjának. Számítással látható, hogy ha \(\displaystyle f_1\) és \(\displaystyle f_2\) duriváltja létezik, akkor \(\displaystyle f_1+f_2\) duriváltja is létezik és egyenlő \(\displaystyle f_1\) és \(\displaystyle f_2\) duriváltjának összegével, továbbá hogy \(\displaystyle Kx^2\) duriváltja \(\displaystyle 2K\), és hogy lineáris függvény duriváltja \(\displaystyle 0\). Alkalmas \(\displaystyle Kx^2\)-tel eltolva, elég belátni, hogy ha \(\displaystyle g(x)\equiv 0\), akkor \(\displaystyle f(x)\) lineáris függvény.

Legyen \(\displaystyle f\) grafikonjának két tetszőleges pontja \(\displaystyle (a,f(a))\) és \(\displaystyle (b,f(b))\), ahol \(\displaystyle a<b\). Toljuk el \(\displaystyle f\)-et egy lineáris függvénnyel (akkor \(\displaystyle g(x)\) nem változik meg) úgy, hogy \(\displaystyle f(a)=f(b)=0\) legyen.

Állítás. Ha \(\displaystyle f(a)=f(b)=0\) (\(\displaystyle a<b\)) és \(\displaystyle g\equiv 0\), akkor \(\displaystyle [a;b]\)-n mindenhol \(\displaystyle f(x)=0\).

Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy van \(\displaystyle c_0\in(a;b)\), melyre \(\displaystyle f(c_0)\neq 0\), az általánosság megszorítása nélkül \(\displaystyle f(c_0)<0\). Vegyük észre, hogy mivel alkalmas \(\displaystyle M>0\)-ra \(\displaystyle M(x-a)(x-b)\) másodfokú függvény értéke \(\displaystyle c_0\)-ban \(\displaystyle f(c_0)\), így az \(\displaystyle F(x)=f(x)-M(x-a)(x-b)\) függvény duriváltja \(\displaystyle -2M\), míg \(\displaystyle F(a)=F(b)=F(c_0)=0\).

Viszont \(\displaystyle F\) a Weierstrass-tétel miatt az \(\displaystyle [a;b]\) intervallum egy belső \(\displaystyle c\) pontjában minimális, s így mivel \(\displaystyle a\le c-h<c+h\le b\) esetén \(\displaystyle F(c+h)+F(c-h)\ge 2F(c)\), így \(\displaystyle c\)-ben \(\displaystyle F\) duriváltja \(\displaystyle \ge 0\). Ez ellentmond annak, hogy a durivált mindenhol negatív. \(\displaystyle \blacksquare\)

Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle g(x)\equiv 0\) esetén \(\displaystyle f(x)\) minden intervallumon lineáris, ezért \(\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) grafikonja a \(\displaystyle (-1,f(-1))\) és \(\displaystyle (1,f(1))\) pontokra illeszthető egyenes. Készen vagyunk.

Megjegyzés. Számos olyan folytonos függvény van, melyre minden \(\displaystyle x\)-ben értelmezett a \(\displaystyle g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}\) határérték, azonban a derivált, vagyis a \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) határérték nem feltétlenül létezik. (Ha \(\displaystyle f\) kétszer differenciálható, valóban \(\displaystyle g(x)=f''(x)\), és nyilvánvaló az állítás.) Például: \(\displaystyle f(x)=|x|\sin \frac1x\) ha \(\displaystyle x\neq 0\) és \(\displaystyle f(x)=0\) ha \(\displaystyle x=0\), ami \(\displaystyle (-\infty;0)\cup (0;\infty)\)-n akárhányszor differenciálható s így \(\displaystyle g(x)\) létezik, \(\displaystyle 0\)-ban \(\displaystyle |f(x)|\le |x|\) okán folytonos, \(\displaystyle 0\)-ban \(\displaystyle \sin\frac1x\) divergenciája miatt nem differenciálható, de \(\displaystyle f(h)-2f(0)+f(-h)=0\) miatt \(\displaystyle g(0)\) létezik és \(\displaystyle g(0)=0\).

Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:	Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018