Problem A. 733. (October 2018)
A. 733. Circle \(\displaystyle \omega\) lies in the interior of circle \(\displaystyle \Omega\), on which a point \(\displaystyle X\) moves. The tangents from \(\displaystyle X\) to \(\displaystyle \omega\) intersect \(\displaystyle \Omega\) for the second time at points \(\displaystyle A\ne X\) and \(\displaystyle B\ne X\). Prove that the lines \(\displaystyle AB\) are either all tangent to a fixed circle, or they all pass through a point.
(7 pont)
Deadline expired on November 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Észrevehetjük, hogy a feladat kapcsolódik a Poncelet-tételhez. Mint Hraskó András cikkében, kulcsötletünk megadni egy "mértéket" az \(\displaystyle \Omega\) körön úgy, hogy az \(\displaystyle \omega\) kört érintő irányított egyenesekhez tartozó megfelelő ívekhez azonos mérték tartozzék.
Válasszunk koordináta-rendszert, melyben \(\displaystyle \Omega\) az egységkör, és paraméterezzük \(\displaystyle P_\varphi=(\cos \varphi,\sin\varphi)\) módon. Egy \(\displaystyle P\in \Omega\) ponthoz hozzárendelhetjük azt a \(\displaystyle Q\in \Omega\) és \(\displaystyle T\in \omega\) pontot, melyre \(\displaystyle PQ\) \(\displaystyle T\)-ben érinti \(\displaystyle \omega\)-t és az \(\displaystyle \omega\) kör a \(\displaystyle PQ\) irányított egyenes bal félsíkjára esik. (A bal félsík algebrailag a következőképp adható meg: legyen \(\displaystyle \overrightarrow{PQ}\) vektor \(\displaystyle +90^\circ\)-kal való elforgatottja \(\displaystyle \mathbb{n}\), ekkor a bal félsík \(\displaystyle \{\mathbb{x}:\mathbb{n}\cdot (\mathbb{x}-P)\ge 0\}\).)
Koordináta-geometriai számítással könnyen ellenőrizhető, hogy a \(\displaystyle P\)-hez \(\displaystyle Q\)-t ill. \(\displaystyle T\)-t hozzárendelő függvények folytonosak. Ha \(\displaystyle P=P_\varphi\), jelölje \(\displaystyle \psi(\varphi)\) azt a szöget, melyre \(\displaystyle 0<\psi(\varphi)-\varphi\le 2\pi\) és \(\displaystyle Q=P_{\psi(\varphi)}\).
Tekintsünk két ilyen pontot: \(\displaystyle P=P_\varphi\) és \(\displaystyle P'=P_{\varphi'}\). Tekintsük értelemszerűen a \(\displaystyle Q,T\) és \(\displaystyle Q',T'\) pontokat. Ha \(\displaystyle S=PQ\cap P'Q'\) (elég közeli \(\displaystyle P,P'\)-re \(\displaystyle S\) létezik), akkor a kerületi szögek tételéből belátható \(\displaystyle PSP'\sim Q'SQ\), s ezzel
\(\displaystyle \frac{QQ'}{PP'}=\frac{Q'S}{SP}.\)
Ha \(\displaystyle \varphi'\to \varphi\) (azaz: ha \(\displaystyle \varphi'\) helyére egy \(\displaystyle \varphi\)-hez konvergáló sorozat tagjait írjuk), akkor \(\displaystyle T'\to T\)-ből belátható \(\displaystyle S\to T\), s így \(\displaystyle Q'\to Q\) miatt \(\displaystyle \frac{Q'S}{SP}\to \frac{QT}{TP}\). Másrészt, a szinusztétel miatt
\(\displaystyle \frac{QQ'}{PP'}=\frac{2\sin\frac{\psi(\varphi')-\psi(\varphi)}{2}}{2\sin \frac{\varphi'-\varphi}{2}},\)
ezért \(\displaystyle \frac{QQ'}{PP'}\to \frac{QT}{TP}\)-ből az ismert \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0\) összefüggés segítségével \(\displaystyle \frac{\psi(\varphi')-\psi(\varphi)}{\varphi'-\varphi}\to \frac{QT}{TP}\) következik. A derivált definíciója szerint így
\(\displaystyle \frac{d\psi}{d\varphi}=\frac{QT}{TP}.\)
Ha az \(\displaystyle (u,v)\) középpontú, \(\displaystyle r\) sugarú \(\displaystyle k\) kör egyenletét \(\displaystyle k(x,y)=(x-u)^2+(y-v)^2-r^2=0\) alakban adjuk meg, akkor a Pitagorasz-tétel szerint egy \(\displaystyle P\) külső pontjára \(\displaystyle k(P)\) a \(\displaystyle P\)-ből a körhöz húzható érintő hosszának négyzetét adja meg. Ily módon
\(\displaystyle \frac{d\psi}{d\varphi}=\frac{\sqrt{\omega(P_{\psi(\varphi)})}}{\sqrt{\omega(P_\varphi)}}.\)
Most tekintsük az \(\displaystyle f(P)=\frac1{\sqrt{\omega(P)}}\) "eloszlást", ami folytonos függvény. Az \(\displaystyle [\alpha,\beta]\) által paraméterezett ív "mértéke" pedig legyen \(\displaystyle \int_{\alpha}^\beta f(P_\theta)d\theta\) (folytonosság miatt az integrál létezik). A \(\displaystyle PQ\) ív mértéke (\(\displaystyle P=P_\varphi\)) ekkor:
\(\displaystyle I(\varphi)=\int_{\varphi}^{\psi(\varphi)} f(P_\theta)d\theta\)
A függvény konstans, hisz differenciálva:
\(\displaystyle \frac{dI}{d\varphi}=f(\psi(\varphi))\frac{d\psi}{d\varphi}-f(\varphi)=0.\)
Tehát az \(\displaystyle \Omega\) körnek \(\displaystyle \omega\)-t érintő húrjaihoz tartozó ívek mértéke mindig egy adott \(\displaystyle I\) érték. Sőt, \(\displaystyle I\) mértékű ív csak \(\displaystyle [\varphi,\psi(\varphi)]\) által paraméterezett ív lehet.
A megoldás kulcsa az az észrevétel, hogy ha a \(\displaystyle \Gamma\) kört a \(\displaystyle \Gamma(x,y)=\lambda \omega(x,y)+(1-\lambda)\Omega(x,y)\) egyenlettel definiáljuk (tehát \(\displaystyle \omega,\Omega,\Gamma\) egy körsorra esnek), akkor \(\displaystyle P\in \Omega\)-ra \(\displaystyle \Gamma(P)=\lambda\omega(P)\), így \(\displaystyle \lambda>0\)-ra \(\displaystyle \Gamma\) az \(\displaystyle \Omega\) belsejébe esik. Mint láttuk, az \(\displaystyle \tilde{f}(P)=\frac1{\sqrt{\Gamma(P)}}\) "eloszlás" mellett a \(\displaystyle \Gamma\) kört érintő húrok ívének mértéke állandó. Azonban \(\displaystyle \tilde{f}=\lambda^{-1/2}f\), így az \(\displaystyle f\) eloszlással is egy \(\displaystyle K\) állandó lesz a \(\displaystyle \Gamma\) kört érintő húrok mértéke. Sőt, \(\displaystyle K\) mértékű ív csak \(\displaystyle \Gamma\)-t érintő húrhoz tartozhat.
Legyen a teljes \(\displaystyle \Omega\) kör mértéke:
\(\displaystyle J=\int_{\varphi}^{\varphi+2\pi}f(P_\theta)d\theta.\)
Ekkor az \(\displaystyle AXB\) háromszög egy adott helyzete esetén (feltéve, hogy \(\displaystyle AXB\) pozitív körüljárású), \(\displaystyle A=P_\varphi\) esetén az \(\displaystyle \Omega\) kört \(\displaystyle [\varphi,\varphi+2\pi]\)-vel paraméterezve: \(\displaystyle X=P_{\psi(\varphi)}\), \(\displaystyle B=P_{\psi(\psi(\varphi))}\), és
\(\displaystyle J=\int_{\varphi}^{\psi(\varphi)}f(P_\theta)d\theta+\int_{\varphi}^{\psi(\psi(\varphi))}f(P_\theta)d\theta+\int_{\psi(\psi(\varphi))}^{\varphi+2\pi}f(P_\theta)d\theta.\)
Tehát \(\displaystyle BA\) ív mértéke \(\displaystyle X\) bármely helyzetére \(\displaystyle J-2I>0\). Mivel \(\displaystyle \Omega\) bármely \(\displaystyle BA\) ívéhez található \(\displaystyle \Gamma\) a körsoron, melyre \(\displaystyle BA\) (jobbról) érinti \(\displaystyle \Gamma\)-t, így egy adott \(\displaystyle BA\)-hoz szerkesztve \(\displaystyle \Gamma\)-t, \(\displaystyle K=J-2I\) adódik. Ekkor pedig \(\displaystyle X\) bármely helyzetére az \(\displaystyle AB\) egyenes érinti \(\displaystyle \Gamma\) kört.
Schrettner Jakab megoldása alapján
Statistics:
4 students sent a solution. 7 points: Schrettner Jakab. 6 points: Milan Haiman. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018