Az A. 742. feladat (2019. január)

A. 742. Az \(\displaystyle \Omega\) körbe írt \(\displaystyle ABCD\) konvex húrnégyszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalegyenesei az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. Legyen \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) a többi csúcsot nem tartalmazó \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle CD\) körívek felezőpontja, továbbá legyen \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\), és \(\displaystyle L\) rendre az \(\displaystyle ABD\), a \(\displaystyle ABC\), a \(\displaystyle BCD\), illetve a \(\displaystyle CDA\) háromszögbe írt kör középpontja. Messe \(\displaystyle \Omega\) az \(\displaystyle IJM\) és \(\displaystyle KLN\) köröket másodszor az \(\displaystyle U\ne M\), illetve a \(\displaystyle V\ne N\) pontban. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A feladat szorosan kapcsolódik az A505 feladat megoldásához: Az A.505. betűzésével \(\displaystyle PT\cdot PG=PA\cdot PB=PO_1\cdot PO_2\), emiatt az \(\displaystyle O_1,O_2,T,G\) egy körön vannak.

Legyen \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) az a két kör az \(\displaystyle ABCD\) négyszög belsejében, amely érinti az \(\displaystyle AD\) és a \(\displaystyle BC\) oldalakat, valamint a körülírt kör \(\displaystyle AMB\), illetve \(\displaystyle CND\) ívét. A fenti, az A.505. megoldásából leolvasott eremény szerint a két érintési pont \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\).

Az \(\displaystyle \Omega\), \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) körök páronként vett külső hasonlósági pontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\); ezek a Monge-tétel szerint egy egyenesre esnek.

Statisztika:

Az A. 742. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai