Problem A. 751. (April 2019)

A. 751. Let \(\displaystyle c>0\) be a real number, and suppose that for every positive integer \(\displaystyle n\), at least one percent of the numbers \(\displaystyle 1^c,2^c,3^c,\ldots,n^c\) are integers. Prove that \(\displaystyle c\) is an integer.

(7 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(x)=x^c\), és indirekte tegyük fel, hogy valamilyen pozitív egész számra \(\displaystyle k<c<k+1\). A sűrűségi feltétel miatt végtelen sok olyan \(\displaystyle N\) egész létezik, amelyre az \(\displaystyle f(N),f(N+1),\dots,f\big(N+200(k+2)\big)\) számok között legalább \(\displaystyle k+2\) egész van, legyenek ezek \(\displaystyle f(N+d_1)<\ldots<f(N+d_{k+2})\).

Az osztott differenciák középtétele miatt van olyan \(\displaystyle \xi\in(N+d_1,N+d_{k+2})\), amelyre

\(\displaystyle \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!} = f[N+a_1,N+a_2,\ldots,N+a_{k+2}] = \sum_{i=1}^{k+2} \frac{f(N+a_i)}{\prod\limits_{j\ne i}(a_j-a_i)}. \)

A jobboldalon minden nevező osztója \(\displaystyle \big(200(k+2)\big)!\)-nak. Átszorozva

\(\displaystyle \frac{\big(200(k+2)\big)!}{(k+1)!} \cdot f^{k+1}(\xi) = \sum_{i=1}^{k+2} \frac{\big(200(k+2)\big)!}{\prod\limits_{j\ne i}(a_j-a_i)} f(N+a_i). \)

A jobboldalon egész szám áll. A baloldal \(\displaystyle C\cdot\xi^{c-k-1}\) alakú; pozitív és \(\displaystyle 0\)-hoz tart, ellentmondás.

Statistics:

3 students sent a solution.
7 points:	Schrettner Jakab.
1 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019