Az A. 752. feladat (2019. május)

A. 752. Legyenek \(\displaystyle k\), \(\displaystyle s\) és \(\displaystyle n\) pozitív egész számok úgy, hogy \(\displaystyle s<(2k+1)^2\), és legyen \(\displaystyle R\) a sík azon \(\displaystyle (x,y)\) rácspontjainak halmaza, amelyre \(\displaystyle 1\le x,y\le n\). Az \(\displaystyle R\) pontrácson a következő eljárást végezzük el. Kezdetben \(\displaystyle R\) egy pontját zöldre, a többi pontját fehérre színezzük. Ezután minden lépésben kiválasztunk egy \(\displaystyle {\color{red}(2k+1)\times(2k+1)}\) rácspontból álló \(\displaystyle S\) négyzetet, amelynek középpontja zöld, és legalább \(\displaystyle s\) fehér pontot tartalmaz, majd az \(\displaystyle S\)-beli fehér pontok közül valamelyik \(\displaystyle s\) pont színét zöldre változtatjuk. Ezt a lépést addig ismételgetjük, amíg csak található megfelelő \(\displaystyle S\) négyzet.

Azt mondjuk, hogy az \(\displaystyle s\) szám \(\displaystyle k\)-ritka, ha létezik olyan \(\displaystyle C\) pozitív valós szám, hogy bármely \(\displaystyle n\), bármely kiinduló zöld pont, és a fenti lépések bármely szabályos sorozata után a zöld pontok száma nem lehet nagyobb, mint \(\displaystyle Cn\).

Fejezzük ki a legkisebb \(\displaystyle k\)-ritka egész \(\displaystyle s\) számot \(\displaystyle k\) függvényében.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Sztara Zagora, Bulgária)

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Schrettner Jakab.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai