Problem A. 771. (February 2020)

A. 771. Let \(\displaystyle \omega\) denote the incircle of triangle \(\displaystyle ABC\), which is tangent to side \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle D\). Let \(\displaystyle G\) denote the second intersection of line \(\displaystyle AD\) and circle \(\displaystyle \omega\). The tangent to \(\displaystyle \omega\) at point \(\displaystyle G\) intersects sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle AC\) at points \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\). The circumscribed circle of \(\displaystyle DEF\) intersects \(\displaystyle \omega\) at points \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle M\). The circumscribed circle of \(\displaystyle BCG\) intersects \(\displaystyle \omega\) at point \(\displaystyle G\) and \(\displaystyle N\). Prove that lines \(\displaystyle AD\) and \(\displaystyle MN\) are parallel.

Proposed by Ágoston Győrffy, Remeteszőlős

(7 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. I. Vizsgáljuk először azt az esetet, ha \(\displaystyle AB\ne AC\).

Legyen \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek metszéspontja. A \(\displaystyle BDCFGE\) hatszögre feírt a Brianchon-tételból következik, hogy az \(\displaystyle BF\), \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle ADG\) egyenesek egy ponton menek át, emiatt a \(\displaystyle (HD,BC)\) és \(\displaystyle (HG,EF)\) pontnégyesek harmonikusak.

Legyen \(\displaystyle k_1\) a \(\displaystyle HG\) átmérőjű kör, ekkor \(\displaystyle E,F\) egymás inverze \(\displaystyle k_1\)-re. A beírt kör és az \(\displaystyle EFD\) kör is szimmetrikus \(\displaystyle k_1\)-re; ezért metszéspontjaik, \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle M\) egymás inverzei. Ugyanígy, \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle N\) egymás inverze a \(\displaystyle HD\) átmérőjű \(\displaystyle k_2\) körre.

Ezek után a \(\displaystyle DHG\) szög felezőjére szimmetrikus \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle G\), \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\), tehát \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) is. Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle DG\) és \(\displaystyle MN\) is merőleges a \(\displaystyle DHG\) szög felezőjére, tehát párhuzamosak egymással.

II. Ha \(\displaystyle AB=AC\), akkor az ábra szimmetrikus az \(\displaystyle ADG\) egyenesre, \(\displaystyle M=D\) és \(\displaystyle N=G\), és az állítás triviális.

Statistics:

6 students sent a solution.
7 points:	Bán-Szabó Áron, Beke Csongor, Csaplár Viktor, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté.
5 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020