Az A. 773. feladat (2020. március)

A. 773. Legyen \(\displaystyle n \ge 3\) egy pozitív egész szám, \(\displaystyle \sigma\) pedig a \(\displaystyle \{0, 1, \ldots, n - 1\}\) halmaz identitástól különböző olyan permutációja, melyre \(\displaystyle \sigma(0) = 0\). A \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás minden \(\displaystyle m\) pozitív egészt elkódol olyan módon, hogy az \(\displaystyle m\) szám \(\displaystyle n\)-es számrendszerben felírt alakjában minden egyes \(\displaystyle a\) számjegyet \(\displaystyle \sigma(a)\)-ra cserél. Legyen \(\displaystyle d\) egy \(\displaystyle n\)-nel nem osztható pozitív egész. Azt mondjuk, hogy a \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás kompatibilis \(\displaystyle d\)-vel, ha \(\displaystyle C_\sigma\) \(\displaystyle d\) minden többszörösét \(\displaystyle d\) többszörösévé kódolja el. A \(\displaystyle d\) számot titokzatosnak nevezzük, ha van hozzá olyan \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás, mely kompatibilis \(\displaystyle d\)-vel.

Legyen \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám, és legyen \(\displaystyle p=2^k+1\).

\(\displaystyle a)\) Keressük meg a \(\displaystyle 2\) legnagyobb hatványát, amely titokzatos a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

\(\displaystyle b)\) Keressük meg a \(\displaystyle p\) legnagyobb hatványát, amely titokzatos a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

\(\displaystyle c)\) Tegyük fel, továbbá hogy a fenti \(\displaystyle p\) szám prímszám. Keressük meg a legnagyobb titokzatos számot a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Weisz Máté.
5 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai