Problem A. 778. (May 2020)
A. 778. Find all square-free integers \(\displaystyle d\) for which there exist positive integers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle n\) satisfying \(\displaystyle x^2+dy^2 = 2^n\).
Submitted by Kada Williams, Cambridge
(7 pont)
Deadline expired on June 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Válasz. \(\displaystyle d=1\), \(\displaystyle d=3\), és minden négyzetmentes \(\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}\) esetén van megoldás.
Megoldás. Néhány eset hamar kizárható.
Ha \(\displaystyle d\equiv1,2\pmod{4}\), akkor osszunk le \(\displaystyle 2\)-vel addig, míg \(\displaystyle x,y\) egyike páratlan nem lesz. Ekkor \(\displaystyle x^2+dy^2=2^n\) bal oldala \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), vagy \(\displaystyle 3\) lesz modulo \(\displaystyle 4\), így \(\displaystyle n\ge 2\) kizárt. Egy megoldást kapunk: \(\displaystyle n=1\), \(\displaystyle d=1\), \(\displaystyle x=y=1\).
Ha \(\displaystyle d\equiv 3\pmod{8}\), akkor ugyanígy feltehető, hogy \(\displaystyle x,y\) egyike páratlan. Most \(\displaystyle x^2+dy^2=2^n\) bal oldala \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), vagy \(\displaystyle 4\) lesz modulo \(\displaystyle 8\), és \(\displaystyle n\ge 3\) zárható ki. Egy megoldást kapunk: \(\displaystyle n=2\), \(\displaystyle d=3\), \(\displaystyle x=y=1\).
Marad \(\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}\) esete. Elemi okfejtést nem ismerünk erre az esetre.
Bebizonyítjuk, hogy létezik megoldás az egyenletre minden \(\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}\) mellett.
Vizsgáljuk az egyenletet a \(\displaystyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) testben! Mint egy Pell-egyenletben, a bal oldal szorzattá bomlik:
\(\displaystyle (x+y\sqrt{-d})(x-y\sqrt{-d})=2^n\)
Ismeretes, hogy a \(\displaystyle K\) testben lévő algebrai egészek gyűrűje \(\displaystyle d\equiv 3\pmod{4}\) esetén \(\displaystyle \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right]\). Ez általánosítása annak, hogy a \(\displaystyle \mathbb{Q}\) testben lévő algebrai egészek gyűrűje \(\displaystyle \mathbb{Z}\), és reménykedhetünk benne, hogy ily módon \(\displaystyle \mathcal{O}_K\)-ban fennáll a számelmélet alaptétele. Ha fennállna, meghatároznánk \(\displaystyle 2^n\) lehetséges szorzattá bontásait, és megoldanánk az egyenletet. Azonban a számelmélet alaptétele csak kivételes esetekben lesz érvényes.
Vizsgáljuk ehelyett \(\displaystyle \mathcal{O}_K\) nemnulla ideáljait! Ismert ugyanis, hogy bármilyen \(\displaystyle K\) számtestre fennáll, hogy a nemnulla ideálok egyértelműen felbonthatók prím ideálok szorzatára.
Olyan \(\displaystyle \alpha\in\mathcal{O}_K\setminus \mathbb{Z}\) elemet keresünk, melyre \(\displaystyle N(\alpha)\) kettőhatvány. (Ekkor az egyenlet egy megoldása \(\displaystyle 2\alpha=x+y\sqrt{-d}\) választással nyerhető ki, ahol \(\displaystyle \alpha\notin\mathbb{Z}\) garantálja, hogy \(\displaystyle y\neq 0\).)
Legyen \(\displaystyle \theta=\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\), melyre \(\displaystyle \theta^2-\theta+\frac{d+1}{4}=0\). Az ún. Dedekind-kritériumból következik a \(\displaystyle (2)\) prímideál-felbontása:
\(\displaystyle (2)=(2,\theta)(2,\theta+1).\)
Mivel az ideálosztály-csoport véges, ezért \(\displaystyle (2,\theta)^n\) főideál lesz valamilyen \(\displaystyle n\)-re és \(\displaystyle \alpha\in\mathcal{O}_K\)-ra, vagyis \(\displaystyle (\alpha)\) alakú. Az ideálnorma multiplikatív lévén \(\displaystyle N(2,\theta)=2\) és \(\displaystyle N(\alpha)=N\big((\alpha)\big)=2^n\). Továbbá ha \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{Z}\), akkor \(\displaystyle \alpha=\pm 2^{n/2}\), így \(\displaystyle (2,\theta)^n=(2)^{n/2}=(2,\theta)^{n/2}(2,\theta+1)^{n/2}\) adódik. Ez ellentmond az ideálok körében fennálló számelmélet alaptételének, mert \(\displaystyle (2,\theta)\neq (2,\theta+1)\) (ha egyenlő lenne a két ideál, akkor \(\displaystyle (\theta+1)-\theta=1\) s így maga \(\displaystyle (1)\) is benne lenne). Tehát \(\displaystyle \alpha\notin\mathbb{Z}\), készen vagyunk.
Megjegyzés. Speciálisan \(\displaystyle d=7\) esete kapcsolódik egy korábbi Kömal-feladathoz: B.4550. feladat.
Statistics:
4 students sent a solution. 2 points: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020