Problem A. 788. (November 2020)
A. 788. Solve the following system of equations:
\(\displaystyle x+\frac1{x^3}=2y, \qquad y+\frac1{y^3}=2z, \qquad z+\frac1{z^3}=2w, \qquad w+\frac1{w^3}=2x. \)
(7 pont)
Deadline expired on December 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenletrendszernek triviális megoldása az \(\displaystyle x=y=z=w=\pm1\). Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Ha \(\displaystyle x\) negatív, akkor \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle w\) is negatív; végigszorozva \(\displaystyle (-1)\)-gyel csupa pozitív számokból álló megoldást kapunk, így elég azt igazolni, hogy az egyetlen csupa pozitív megoldás az \(\displaystyle x=y=z=w=1\).
Az egyenletekből világos, hogy \(\displaystyle x,y,z,w>\frac12\).
Kalapból nyuszi: Legyen
\(\displaystyle f(t)=\bigg|\dfrac{t-1}{ty-1}\bigg|.\)
Azt állítjuk, hogy
| \(\displaystyle f(y) \le f(x), \) | \(\displaystyle (1)\) |
és egyenlőség csak \(\displaystyle x=y=1\) esetén lehet. Az egyenlőtlenség ciklikusan igaz: \(\displaystyle f(x)\ge f(y)\ge f(z)\ge f(w)\ge f(x)\), tehát mindenhol egyenlőség kell legyen, vagyis \(\displaystyle x=y=z=w=1\).
Ha \(\displaystyle x=1\), akkor \(\displaystyle y=\frac{x+1/x^3}{2}=1\), és (1)-ben egyenlőség áll.
Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\ne1\). Az (1) két oldalának hányadosa
\(\displaystyle \frac{f(y)}{f(x)} = \left|\dfrac{y-1}{3y-1}\cdot\dfrac{3x-1}{x-1}\right| = \left|\dfrac{\dfrac{x^4+1}{2x^3}-1}{3\dfrac{x^4+1}{2x^3}-1}\cdot\dfrac{3x-1}{x-1}\right| = \bigg|\dfrac{(x^4-2x^3+1)(3x-1)}{(3x^4-2x^3+3)(x-1)}\bigg|= \)
\(\displaystyle = \bigg|\dfrac{(x-1)(x^3-x^2-x-1)(3x-1)}{(3x^4-2x^3+3)(x-1)}\bigg| = \bigg|\dfrac{3x^4-4x^3-2x^2-2x+1}{3x^4-2x^3+3}\bigg|. \)
Az utolsó abszolút értékben álló szám egyrészt
\(\displaystyle \dfrac{3x^4-4x^3-2x^2-2x+1}{3x^4-2x^3+3} = 1-\frac{2x^3+2x^2+2x+2}{3x^4-2x^3+3} < 1, \)
másrészt
\(\displaystyle \dfrac{3x^4-4x^3-2x^2-2x+1}{3x^4-2x^3+3} = -1+\frac{6x^4-6x^3-2x^2-2x+4}{3x^4-2x^3+3} = -1+\frac{(x-1)^2(6x^2+6x+4)}{3x^4-2x^3+3} > -1. \)
Statistics:
16 students sent a solution. 7 points: Fleiner Zsigmond, Kovács 129 Tamás, Sztranyák Gabriella, Török Ágoston. 4 points: 2 students. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020