Az A. 806. feladat (2021. október)

A. 806. Adott a síkon négy különböző egyenes, melyek nem mennek át egy ponton, és nincs köztük három párhuzamos. Bizonyítandó, hogy a síkon lehet találni négy pontot, \(\displaystyle A\)-t, \(\displaystyle B\)-t, \(\displaystyle C\)-t és \(\displaystyle D\)-t, melyekre teljesülnek a következők:

\(\displaystyle (i)\) \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) ebben a sorrendben egy egyenesre esnek,

\(\displaystyle (ii)\) \(\displaystyle AB=BC=CD\),

\(\displaystyle (iii)\) a négy adott egyenes alkalmas sorrendje mellett \(\displaystyle A\) az első, \(\displaystyle B\) a második, \(\displaystyle C\) a harmadik és \(\displaystyle D\) a negyedik egyenesre esik.

Javasolta: Williams Kada (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy egy affin transzformáció után az (i) és (ii) feltételek továbbra is teljesülni fognak az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokra.

Ha az egyenesek között lehet találni hármat, melyek egy háromszöget alkotnak, akkor jól ismert, hogy egy affin transzformációval elérhető, hogy az egyik egyenes az \(\displaystyle y=0\) egyenes, a másik az \(\displaystyle x=0\) egyenes, a harmadik pedig az \(\displaystyle x+y=1\) egyenes legyen. Keressük most azokat a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontokat, melyek közül \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle x=0\) egyenesre, \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle x+y=1\) egyenesre, \(\displaystyle R\) pedig az \(\displaystyle y=0\) egyenesre esik, továbbá \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle PR\) szakasz felezőpontja.

Legyen \(\displaystyle Q\) koordinátája \(\displaystyle (t,1-t)\) (ahol \(\displaystyle t\) végigfut a valós számokon). Ekkor az \(\displaystyle y=0\) egyenest tükrözve erre a pontra megkapjuk \(\displaystyle P\) koordinátáit: \(\displaystyle (0,2-2t)\), és hasonlóan látható, hogy \(\displaystyle R\) koordinátái \(\displaystyle (2t,0)\).

Legyen először \(\displaystyle A=P\), \(\displaystyle B=Q\) és \(\displaystyle C=R\), és nézzük meg, hova esik a \(\displaystyle D\) pont úgy, hogy (i) és (ii) teljesüljön: mivel \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle BD\) szakasz felezőpontja, \(\displaystyle D\) koordinátái \(\displaystyle (3t,t-1)\) (ahol \(\displaystyle t\) tetszőleges valós szám). Ez azt jelenti, hogy ha \(\displaystyle Q=B\) végigfut az \(\displaystyle x+y=1\) egyenesen, akkor a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle x-3y=3\) egyenesen fut végig.

Legyen ezután \(\displaystyle A=R\), \(\displaystyle B=Q\) és \(\displaystyle C=P\). Az előzőekhez hasonlóan kiszámolható, hogy most \(\displaystyle D\) koordinátái \(\displaystyle (-t,3-3t)\), ekkor tehát \(\displaystyle B\)-t végigfuttatva az \(\displaystyle x+y=1\) egyenesen \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle y-3x=3\) egyenesen fog végigfutni.

Miután az így kapott két egyenes (\(\displaystyle x-3y=3\) és \(\displaystyle y-3x=3\)) nem párhuzamos egymással, így az egyik biztosan el fogja metszeni a negyedik egyenest, amivel megkapjuk a feladat (egyik) megoldását.

Ha az egyenesek között van három, amely egy ponton megy át, akkor a negyedik nem fog átmenni ezen a ponton, és mivel legfeljebb eggyel lehet párhuzamos a három egy ponton átmenő egyenes közül, így a másik kettővel háromszöget fog alkotni, tehát működik a fenti megoldás.

Ha semelyik három egyenes nem megy át egy ponton, akkor csak akkor nem lehet hármat találni, melyek egy háromszöget alkotnak, ha az egyenesek iránya csak kétféle. Ekkor, mivel nincs az egyenesek között három párhuzamos, ezért mindkét iránnyal két egyenes párhuzamos, azaz egy paralelogrammát alkotnak. Ez az eset pedig egyszerűen megoldható: ha a paralelogramma \(\displaystyle XYZW\), akkor legyen \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle W\) tükörképe \(\displaystyle X\)-re, \(\displaystyle B\) az \(\displaystyle XY\) szakasz \(\displaystyle X\)-hez közelebbi harmadoló pontja, \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle ZW\) szakasz \(\displaystyle Z\)-hez közelebbi harmadoló pontja, \(\displaystyle D\) pedig az \(\displaystyle Y\) tükörképe \(\displaystyle Z\)-re.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Molnár-Szabó Vilmos, Simon László Bence, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Diaconescu Tashi.
5 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai