Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 809. feladat (2021. november)

A. 809. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), a súlypontja pedig \(\displaystyle S\). Igazoljuk, hogy a háromszög síkjának tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjára teljesül, hogy

\(\displaystyle a\cdot PA^3+b\cdot PB^3+c\cdot PC^3\ge 3abc\cdot PS. \)

Javasolta: Shultz János (Szeged)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.


Helyezzük el a háromszöget a komplex számsíkon oly módon, hogy a \(\displaystyle P\) pont az origóba kerüljön. A háromszög \(\displaystyle A, B, C\) csúcsaihoz tartozó komplex számok rendre \(\displaystyle x, y, z\); ennek megfelelően a súlypontnak megfelelő komplex szám \(\displaystyle \frac{x+y+z}{3}\).

Ezekkel a jelölésekkel a bizonyítandó egyenlőtlenség:

\(\displaystyle |x|^3|y-z|+|y|^3|z-x|+|z|^3|x-y|\ge |x-y||y-z||z-x||x+y+z|.\)

Könnyen ellenőrizhető az alábbi polinomazonosság:

\(\displaystyle x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z).\)

Alkalmazzunk háromszög-egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle |x^3(y-z)|+|y^3(z-x)|+|z^3(x-y)|\ge |(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|.\)

Az \(\displaystyle |uv|=|u||v|\) azonosság többszöri használatával a bizonyítandó állítást kapjuk:

\(\displaystyle |x|^3|y-z|+|y|^3|z-x|+|z|^3|x-y|\ge |x-y||y-z||z-x||x+y+z|.\)


Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Balogh Ádám Péter.
5 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai