Problem A. 818. (February 2022)

A. 818. Find all pairs of positive integers \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) such that \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1\) is divisible by \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle n\) simultaneously.

(7 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Válasz: Két megoldás van, az \(\displaystyle m=n=1\) és az \(\displaystyle m=n=3\).

Ha \(\displaystyle m=n\), akkor \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=3\), így \(\displaystyle m=n=1\) vagy \(\displaystyle m=n=3\).

A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle d=|m-n|>0\). A \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=9^d+3^d+1\) szám nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, így \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) sem.

Legyen \(\displaystyle k\) a legnagyobb kitevő, amelyre \(\displaystyle 3^k|d\). Legyen \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle m\) egyik prímosztója, és legyen \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle 3\) rendje modulo \(\displaystyle p\), azaz \(\displaystyle r\) a legkisebb pozitív egész szám, melyre \(\displaystyle 3^r \equiv 1 \pmod p\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle r|3d\), mivel \(\displaystyle p\big|(3^d-1)(9^d+3^d+1)=3^{3d}-1\). Továbbá \(\displaystyle r\nmid d\), mert ha \(\displaystyle r|d\), akkor \(\displaystyle 3^d\equiv1 \pmod{p}\), tehát \(\displaystyle 9^d+3^d+1\equiv3\pmod{p}\), ami nem lehet, mert \(\displaystyle p|9^d+3^d+1\) és \(\displaystyle p \neq 3\). Ebből látható, hogy \(\displaystyle r\)-ben a \(\displaystyle 3\) kitevője éppen \(\displaystyle 1\)-gyel nagyobb, mint \(\displaystyle d\)-ben, azaz \(\displaystyle 3^{k+1}|r\).

Kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle r|p-1\), tehát \(\displaystyle p\equiv 1\) modulo \(\displaystyle r\), így \(\displaystyle p\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\). Ezt minden \(\displaystyle p|m\) prímre el lehet mondani, így \(\displaystyle m\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\).

Ugyanez igaz \(\displaystyle n\)-re is, tehát \(\displaystyle n\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\).

Ebből az következik, hogy \(\displaystyle 3^{k+1}\big| |m-n|=d\). Ez azonban ellentmond annak a feltevésünknek, hogy \(\displaystyle k\) a legnagyobb kitevő, amire \(\displaystyle 3^k\big |d\).

Tehát valóban csak az \(\displaystyle m=n=1\) és \(\displaystyle m=n=3\) a megoldások.

Statistics:

6 students sent a solution.
7 points:	Ben Gillott, Varga Boldizsár.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022