Problem A. 822. (March 2022)
A. 822. Is it possible to find rational numbers \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) and \(\displaystyle r\) such that \(\displaystyle p+q+r=0\) and \(\displaystyle pqr=1\)?
Proposed by Máté Weisz, Cambridge
(7 pont)
Deadline expired on April 11, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Válasz: Nem.
Tegyük fel, hogy
\(\displaystyle \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}=0\)
és
\(\displaystyle \frac{a_1a_2a_3}{b_1b_2b_3}=1,\)
ahol \(\displaystyle a_i,b_i\) egészek. Ekkor az első egyenlet felszorzásával
\(\displaystyle a_1b_2b_3+a_2b_3b_1+a_3b_1b_2=0.\)
Az itt megjelenő tagokat rendre \(\displaystyle y_1, y_2, y_3\) névvel ellátva adódik, hogy \(\displaystyle y_1+y_2+y_3=0\) és
\(\displaystyle y_1y_2y_3=(a_1a_2a_3)(b_1b_2b_3)^2=(b_1b_2b_3)^3\)
a második egyenletet használva.
Legyen \(\displaystyle d\) az \(\displaystyle y_i\) számok legnagyobb közös osztója, és legyen \(\displaystyle dz_i=y_i\). Ekkor \(\displaystyle z_1+z_2+z_3=0\), és így a \(\displaystyle z_i\)-k páronként relatív prímek, mivel ha \(\displaystyle p\) osztaná kettőjüket, akkor az összeg 0 volta miatt a harmadikat is osztaná. Innen, mivel
\(\displaystyle z_1z_2z_3=(b_1b_2b_3/d)^3,\)
egy köbszám, \(\displaystyle z_1\), \(\displaystyle z_2\) és \(\displaystyle z_3\) szintén köbszámok, és természetesen nem \(\displaystyle 0\)-k, hiszen az \(\displaystyle a_i\) és \(\displaystyle b_i\) számok mind nem \(\displaystyle 0\)-k. Tehát valamely \(\displaystyle x,y,z\neq 0\) egész számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x^3=z_1, y^3=z_2, z^3=-z_3\), így
\(\displaystyle x^3+y^3=z_1+z_2=-z_3=z^3.\)
A Nagy-Fermat tétel speciális esete, hogy ez az egyenlet nem megoldható, így nem léteznek megfelelő racionális számok.
Statistics:
13 students sent a solution. 7 points: Ben Gillott, Bencz Benedek, Diaconescu Tashi, Lovas Márton, Móricz Benjámin, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár, Wiener Anna. 6 points: Bognár 171 András Károly. 5 points: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022