Problem B. 3821. (April 2005)
B. 3821. a, b, c are positive numbers, such that a2+b2+c2=1. Find the smallest possible value of the sum
(5 pont)
Deadline expired on May 17, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Állítjuk, hogy S23(a2+b2+c2), vagyis hogy
Ezzel ekvivalens, hogy
(a2b2+b2c2+c2a2)23a2b2c2(a2+b2+c2),
ami átrendezés után az
a4b4+b4c4+c4a4a4b2c2+b4c2a2+c4a2b2
alakot ölti. További átrendezés során látható, hogy az
egyenlőtlenséget kell igazolnunk, ami nyilvánvaló.
Vagyis S23, ahol egyenlőség csakis az a2=b2=c2 esetben állhat fönn. Az S összeg legkisebb lehetséges értéke tehát , mely értéket esetén veszi fel.
Statistics:
79 students sent a solution. 5 points: 52 students. 4 points: 1 student. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 22 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005