Problem B. 3824. (May 2005)

B. 3824. Each vertex of a tetrahedron is reflected in the centroid of the opposite face. Show that the volume of the tetrahedron formed by the reflections is at least four times that of the original tetrahedron.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a tetraéder csúcsai A,B,C,D, az ezekbe mutató helyvektorok pedig a,b,c,d. A BCD lap súlypontjának helyvektora (b+c+d)/3, ezért az A csúcs A' tükörképének helyvektora

$a'={b+c+d\over 3}+\Bigl({b+c+d\over 3}-a\Bigr)={2b+2c+2d-3a\over 3}.$

Hasonlóképpen a B,C,D csúcsok B',C',D' tükörképének helyvektora rendre

$b'={2a+2c+2d-3b\over 3},\quad c'={2a+2b+2d-3c\over 3},\quad d'={2a+2b+2c-3d\over 3}.$

Ezért

$\overrightarrow{A'B'}={2a+2c+2d-3b\over 3}-{2b+2c+2d-3a\over 3}= {5a-5b\over 3}=-{5\over 3}\overrightarrow{AB}.$

Hasonlóképpen, $\overrightarrow{A'C'}=-(5/3)\overrightarrow{AC}$ és $\overrightarrow{A'D'}=-(5/3)\overrightarrow{AD}$ . Az A'B'C'D' tetraéder tehát hasonló az ABCD tetraéderhez, a hasonlóság aránya pedig 5/3. A tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata ezek szerint pontosan (5/3)³=125/27-szerese az eredeti tetraéder térfogatának. Mivel 125/27>4, az allítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig nem állhat fenn.

Statistics:

38 students sent a solution.

4 points: Bitai Tamás, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Dányi Zsolt, Darázs Zoltán, Gombkötő Tamás, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kecskeméti Szabolcs, Kiss-Tóth Christian, Kómár Péter, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla.

3 points: Cseh Ágnes, Csorba János, Gehér György, Kisfaludi-Bak Sándor, Klimaj Zoltán, Páldy Sándor, Poronyi Balázs, Szabó Levente, Szalóki Dávid.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

38 students sent a solution.
4 points:	Bitai Tamás, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Dányi Zsolt, Darázs Zoltán, Gombkötő Tamás, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kecskeméti Szabolcs, Kiss-Tóth Christian, Kómár Péter, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla.
3 points:	Cseh Ágnes, Csorba János, Gehér György, Kisfaludi-Bak Sándor, Klimaj Zoltán, Páldy Sándor, Poronyi Balázs, Szabó Levente, Szalóki Dávid.

Already signed up?
New to KöMaL?