Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3828. (May 2005)

B. 3828. Is it true that if the product of the sides of a quadrilateral equals the square of its area then the quadrilateral has at least two right angles?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsünk egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai a és b, szárai pedig egységnyi hosszúak. A trapéz m magasságára a Pithagorasz tétel alapján

m^2=1^2-\Bigl({a\over 2}-{b\over 2}\Bigr)^2=1-{(a-b)^2\over 4}

adódik. Mivel a trapéz területének kétszerese 2T=(a+b)m, a T2=ab feltétel pontosan akkor teljesül, ha

(a+b)^2\Bigl(1-{(a-b)^2\over 4}\Bigr)=4ab,

(a+b)^2-4ab=(a+b)^2{(a-b)^2\over 4},

4(a-b)2=(a+b)2(a-b)2,

vagyis ha a=b, vagy pedig (a+b)2=4, a+b=2. Ha például a=3/2 és b=1/2, akkor létezik a szóban forgó trapéz, teljesül rá a feltétel, de egyetlen derékszöge sincsen. Az állítás tehát nyilván nem igaz.

Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:Békéssy Herman András, Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dobos Gábor, Gehér György, Halász Veronika, Horváth 017 Zoltán, Károlyi Márton, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Zotter Zsuzsanna.
3 points:Estélyi István, Gyenizse Gergő, Szegvári Gábor.
2 points:6 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005