Problem B. 3853. (November 2005)
B. 3853. Construct by ruler and compass a line of a given direction that halves the area of a given triangle.
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Világos, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Húzzunk az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket a háromszög csúcsain keresztül. A középső egyenes illeszkedjék a B csúcsra, és messe az AC oldalt a P pontban (elképzelhető, hogy ez egybeesik valamelyik csúccsal). Ha P az AC oldal felezőpontja, akkor készen vagyunk, egyébként pedig feltehetjük, hogy AP>CP. A szerkesztendő egyenes az AB szakaszt X, az AP szakaszt Y pontban metszi úgy, hogy AX.AY=AB.AC/2. A párhuzamos szelők tétele szerint AX/AY=AB/AP. Innen AX2=AB2AC/2AP. Ha a C csúcson áthaladó, BP-vel párhuzamos egyenes az AB félegyeneset a Q pontban metszi, akkor AQ/AC=AB/AP, vagyis AX2=(AB/2)AQ. Innen az AX szakasz hosszát a magasságtétel alapján így szerkeszthetjük meg. Egy egyenesen közös T kezdőpontból ellentétes irányba felmérjük az AB/2 és AQ szakaszokat. Az így nyert szakasz fölé Thalesz-kört rajzolunk. Ha az egyenesre T-ben állított merőleges a kört S-ben metszi, akkor TS2=(AB/2)AQ, vagyis TS=AX.
Statistics:
100 students sent a solution. 4 points: 59 students. 3 points: 15 students. 2 points: 12 students. 1 point: 9 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005