Problem B. 3856. (November 2005)
B. 3856. Show that if a2+b2=a2b2, and |a|1, |b|1, then
(3 pont)
Deadline expired on December 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A feltételek alapján mindegyik tört értelmes. A nevezőkkel való felszorzás és 2-vel történő leosztás után a bizonyítandó egyenlőség az
a8(1-b)2(1+b)2=b8(1-a)2(1+a)2
alakot ölti. Ezt az A=a2, B=b2 jelölésekkel A4(1-B)2=B4(1-A)2 alakba írhatjuk át. Elegendő tehát az A2(1-B)=B2(1-A) egyenlőséget igazolni. A zárójelek kibontása és rendezés után ez így néz ki: A2-B2+AB2-BA2=0. A baloldali kifejezést (A-B)(A+B-AB) szorzat alakban felírva az állítás leolvasható, hiszen az első feltétel miatt itt a második tényező 0-val egyenlő.
Statistics:
245 students sent a solution. 3 points: 129 students. 2 points: 64 students. 1 point: 24 students. 0 point: 27 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005