Problem B. 3912. (May 2006)
B. 3912. Prove that every convex quadrilateral has a vertex, such that its reflection about the midpoint of the line segment connecting the two adjacent vertices does not lie outside the quadrilateral.
(4 pont)
Deadline expired on June 15, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyenek a négyszög csúcsai sorban A,B,C,D, a megfelelő szögek pedig rendre ,,,. Mivel a négy szög összege 360o, + és + közül az egyik legalább 180o. Ugyanígy + és + közül is az egyik legalább 180o. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy
+180o, +180o.
Tekintsük az ABCP paralelogrammát. Ekkor a P pont benne van mind a BAD, mind pedig a BCD zárt szögtartományban, vagyis a P pont vagy az ABCD négyszög belsejébe, vagy annak határára esik. Ez a P pont pedig éppen B-nek az AC szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006