Problem B. 3915. (May 2006)

B. 3915. Each side of the triangle ABC is divided into p equal parts, where p is a prime number. Then one point of division on each side is connected to the opposite vertex so that the three connecting lines are concurrent. Determine the possible values of p.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az AB oldalon az A-tól számított c-edik, a BC oldalon a B-től számított a-adik, a CA oldalon pedig a C-től számított b-edik osztópontot kötöttük össze rendre a C, A, illetve B csúccsal, ahol tehát a,b,c p-nél kisebb pozitív egészek. Ekkor a Ceva-tétel szerint

${a\over p-a}\cdot{b\over p-b}\cdot{c\over p-c}=1,$

vagyis abc=(p-a)(p-b)(p-c). Innen

2abc=p³-(a+b+c)p²+(ab+ac+bc)p,

vagyis 2abc osztható a p prímszámmal. Mivel pedig p az a,b,c számokhoz relatív prím, p osztója a 2-nek, vagyis p=2. Ebben az esetben mindhárom egyenes a súlyponton megy át.

Statistics:

58 students sent a solution.

4 points: Almási 270 Gábor András, Bartha Éva Lili, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Godó Zita, Győrffy Lajos, Herber Máté, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss Blanka, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Vajsz Tibor, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.

3 points: 10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

58 students sent a solution.
4 points:	Almási 270 Gábor András, Bartha Éva Lili, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Godó Zita, Győrffy Lajos, Herber Máté, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss Blanka, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Vajsz Tibor, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
3 points:	10 students.

Already signed up?
New to KöMaL?