Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3918. (May 2006)

B. 3918. Find the solutions of the equation

cos 4x-tan 5x=cot 5x-sin 6x

in the interval (-\pi;\pi).

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Rendezzük át az egyenletet:

cos 4x+sin 6x=tg 5x+ctg 5x.

Ha tg 5x és ctg 5x is értelmes, akkor egymás reciprokai, vagyis összegük abszolút értéke legalább 2, ahol egyenlőség csak a |tg 5x|=1 esetben áll fenn. A baloldalon álló összeg abszolút értéke viszont legfeljebb 2, ahol egyenlőség csak a cos 4x=sin 6x=1, illetve cos 4x=sin 6x=-1 esetben áll fenn. A |cos 4x|=1 feltétel miatt x a \pi/4-nek egész számú többszöröse. Ha páros számú többszöröse, akkor a jobboldal nem értelmes. A fennmaradó 4 esetet egyenként vizsgáljuk meg:

x cos  4x+sin  6x tg  5x+ctg  5x
\frac{3\pi}4 -1+1=0 -1-1=-2
\frac{\pi}4 -1-1=-2 1+1=2
-\frac{\pi}4 -1+1=0 -1-1=-2
-\frac{3\pi}4 -1-1=-2 1+1=2

Egyik esetben sem kaptunk megoldást.

Az egyenletnek tehát nincs megoldása a (-\pi,\pi) intervallumban.


Statistics:

73 students sent a solution.
4 points:Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Duba Zsombor, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Godó Zita, Győrffy Lajos, Györgyi Péter, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Milotai Zoltán, Nagy 314 Dániel, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Schäfer Fanni, Szabó 108 Tamás, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szudi László, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 796 Balázs, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János, Zieger Milán, Zöld Péter.
3 points:12 students.
2 points:10 students.
1 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006