Problem B. 3935. (October 2006)
B. 3935. Some characters in a Hamlet play are paired, for example, both members of a pair can play the role of Gertrude and the role of Player Queen. Before every performance it is decided by a lot who will play Gertrude and who Player Queen. Other pairs are also chosen by a similar lot. Sarah has already seen Hamlet, but she wants to see it again with a different actor playing the other member of the pair Gertrude/Player Queen, Claudius/Player King and Ophelia/Fortinbras, although not necessarily in one performance. How many tickets should she still buy to see all three roles in the other casting with 90% probability?
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy Sári még n előadást néz meg. Nyilván minél nagyobb az n értéke, annál nagyobb annak a valószínűsége, hogy Sári mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is. Rögzítsük az egyik szereppárt (pl. Ophelia / Fortinbras). Annak valószínűsége, hogy ezt a párost minden alkalommal ugyanabban a leosztásban látja, mint először, nyilván 1/2n. Ez az A rossz esemény tehát P(A)=1/2n valószínűséggel következik be, akárcsak a másik két hasonló rossz esemény, melyet jelöljön B, illetve C. Annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ilyen rossz esemény, mondjuk A és B is bekövetkezik, P(AB)=(1/2n)2=1/4n, annak pedig, hogy mind a három egyszerre bekövetkezik, P(ABC)=1/8n.
Annak a valószínűsége tehát, hogy egyik rossz esemény sem következik be, a logikai szitaformula szerint
1-P(A)-P(B)-P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC).
Ez kell, hogy legalább 0,9 legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele
Ha n=4, akkor a baloldal értéke
Ha viszont n=5, akkor a megfelelő értékre már
adódik. Sárinak tehát még legalább 5 előadásra kell jegyet váltania.
Statistics:
140 students sent a solution. 4 points: 75 students. 3 points: 16 students. 2 points: 2 students. 1 point: 13 students. 0 point: 34 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006