Problem B. 3936. (October 2006)
B. 3936. Determine the conditions on the real numbers a, b and c such that for every positive integer n there exists a triangle with side lengths an, bn and cn.
Suggested by Ervin Fried, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Nyilván mindhárom szám pozitív kell legyen. Tegyük fel, hogy a
bc, ekkor minden n természtes számra anbncn, tehát a szerkeszthetőség feltétele an<bn+cn lesz. Ha a>b lenne, akkor elegendően nagy n-re (c/a)n
(b/a)n<1/2 lenne, amiből an=an/2+an/2>bn+cn következne. Vagyis ekkor szükségképpen a=b. Ha viszont a=bc, akkor an<bn+cn nyilván teljesül minden n természetes számra. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy mindhárom szám pozitív legyen, és hogy közülük a két legnagyobb megegyezzen, vagyis egyik se legyen határozottan nagyobb a másik kettőnél.
Statistics:
152 students sent a solution. 4 points: 70 students. 3 points: 36 students. 2 points: 15 students. 1 point: 14 students. 0 point: 16 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006