Problem B. 3951. (November 2006)
B. 3951. Let a, b, n, k be positive integers, such that n is odd, p is an odd prime number, and an+bn=pk. Prove that n is a power of p with a non-negative integer exponent.
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha a és b legnagyobb közös osztója d, akkor (a/d)n+(b/d)n=pk/dn 1-nél nagyobb egész szám, vagyis , ahol pozitív egész szám. Ezért elég az állítást abban az esetben igazolni, ha a és b relatív prímek. Ha a és b közül valamelyik, mondjuk a osztható lenne p-vel, akkor bn, vagyis b is osztható lenne p-vel. Feltehetjük tehát, hogy sem a, sem b nem osztható p-vel.
Ezen feltevés mellett legyen , ahol nemnegatív egész szám, t pedig olyan páratlan pozitív egész szám, amely p-vel nem osztható. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor t=1. Tegyük fel ezzel ellentétben, hogy t>1. Ekkor az A=an/t, B=bn/t pozitív egész számokra At+Bt=pk, továbbá A és B nem osztható p-vel. Nem lehet A=B=1, hiszen akkor p=2, k=1 lenne (ez az a pont, ahol kihasználjuk p páratlan voltát), ezért A+B az At+Bt szám valódi osztója. Alkalmas 0<i<k egész számmal tehát A+B=pi, és így az
azonosság miatt
adódik. A baloldalon álló számot alkalmas N egész számmal tAt-1+piN alakba írhatjuk át. Mivel sem t, sem A nem osztható p-vel, a baloldalon álló szám sem osztható p-vel, ellentétben a jobb oldalon álló pk-i számmal. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy valóban t=1, .
Statistics:
63 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Dinh Van Anh, Kunos Ádám, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Varga 171 László, Wolosz János. 4 points: Blázsik Zoltán, Dobribán Edgár, Éles András, Páldy Sándor, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Véges Márton. 3 points: 6 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 36 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006