Problem B. 3959. (December 2006)

B. 3959. Let K be an arbitrary point inside the triangle A₁A₂A₃ and denote the centroid of the triangle KA_jA_kA_s by S_i (i=1,2,3,). Prove that the line segments A_iS_i are concurrent.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Vegyünk fel a háromszög H síkján kívül egy K' pontot, amelynek H-ra való merőleges vetülete éppen a K pont. Ha a K'A_jA_k háromszög súlypontja S'_i, az A_jA_k szakasz felezőpontja pedig F_i, akkor S_i éppen a KF_i szakasz F_i-hez közelebbi harmadolópontja, S'_i pedig a K'F_i szakasz F_i-hez közelebbi harmadolópontja. A K'KF_i háromszöget tehát F_i középpontú 1/3 arányú hasonlóság viszi az S'_iS_iF_i háromszögbe, ezért K'K párhuzamos az S'_iS_i szakasszal, vagyis S_i éppen az S'_i pont merőleges vetülete a H síkra. Az A_iS'_i szakaszok egy közös S ponton haladnak át, amely az A₁A₂A₃K' tetraéder súlypontja. Ezért az AS_i szakaszok, melyek az előbbi szakaszok H-ra való vetületei, szintén egy ponton mennek át, mégpedig az S pontnak a H síkra való merőleges vetületén.

Statistics:

86 students sent a solution.
4 points:	75 students.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006