Problem B. 3970. (January 2007)
B. 3970. Prove that the harmonic mean of the lengths of the diagonals of a regular heptagon of unit sides is 2.
(4 pont)
Deadline expired on February 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin (/7), továbbá x=2rsin (2/7) és y=2rsin (3/7). Behelyettesítés és sin2(/7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást
alakra hozhatjuk. A 2sin sin =cos (-)-cos (+) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a
összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen
Statistics:
132 students sent a solution. 4 points: 90 students. 3 points: 4 students. 2 points: 33 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007