Problem B. 3972. (February 2007)
B. 3972. Let n be a positive integer. Prove that there exist n integers such that their sum is 0 and their product is n if and only if n is divisible by 4.
(3 pont)
Deadline expired on March 19, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Ha n páratlan, akkor a szorzatra vonatkozó feltétel miatt mindegyik szám páratlan kellene legyen, de páratlan sok páratlan szám összege nem lehet 0, lévén páratlan. Hasonlóképpen, ha n páros, de 4-gyel nem osztható, akkor a számok között pontosan egy párosnak kellene lennie, amiért is a számok összege ismét páratlan lenne. Ha n osztható 8-cal, akkor 1 darab 2-es, 1 darab -es,
darab 1-es és
darab -1-es megfelelő lesz. Végül, ha n nem osztható 8-cal, de 4-gyel igen, akkor 1 darab -2-es, 1 darab
-es,
darab 1-es és
darab -1-es lesz megfelelő választás.
Statistics:
138 students sent a solution. 3 points: 51 students. 2 points: 23 students. 1 point: 50 students. 0 point: 14 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007