Problem B. 3979. (February 2007)
B. 3979. The vertices of triangle ABC are labelled in counterclockwise order. The angles at the vertices A, B, and C are ,
and
, respectively. The vertex B is rotated about the point A through the angle
in clockwise direction. The point B1 obtained is rotated about B through the angle
in clockwise direction. Finally, the point B2 obtained is rotated about C in clockwise direction to the point B3. Given the points B, B3 and O the middle point of the incentre of the triangle ABC, construct the triangle. Investigate how the solution depends on the positions of the three given points.
(Based on a problem from the National Mathematics Competition for Secondary Schools (OKTV))
(4 pont)
Deadline expired on March 19, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje a P pont körüli irányított szöggel történő elforgatást
, a v vektorral történő eltolást Ev. Gondoljuk meg a következő pár dolgot. Először is, a
forgatást elvégezhetjük úgy, hogy először a P pontot eltoljuk az O-ba, vagyis az Ev eltolást alkalmazzuk, ahol
, majd alkalmazzuk az
forgatást, végül visszatoljuk az O pontot a P-be, vagyis alkalmazzuk az E-v eltolást. Ezt képletben így fejezhetjük ki:
, ahol az egymás mellé írással fejeztük ki a leképezések kompozícióját. Másrészt tetszőleges F forgatásra FEv=EwF, ahol a w vektor éppen a v vektor elforgatottja, vagyis w=F(v). Végül nyilvánvalóan EuEv=Eu+v és
.
Jelöléseinkkel B3=T(B), ahol a T transzformációt az ,
,
jelölésekkel a
képlet adja meg. Fenti meggondolásaink alapján ezt alkalmas z vektorral a
alakra hozhatjuk, hiszen
+
+
=
. A z vektort legkönnyebben a
észrevétel segítségével határozhatjuk meg: az első forgatásnál az O pont képe az O-nak az AB egyenesre vett tükörképe lesz, a második forgatás után ez visszakerül O-ba, a harmadik pedig elviszi az O pontnak az AC oldalra vett tükörképébe. Ezért
, ahol D az O pont vetülete az AC egyenesre, vagyis az a pont, ahol a beírt kör érinti az AC oldalt.
Mivel az O pontra való tükrözés, a T transzformáció nem más, mint a D pontra való tükrözés, vagyis a D pont éppen a BB3 szakasz felezőpontja. Ennek alapján a szerkesztés menete a következő: megszerkesztjük a BB3 szakasz D felezőpontját, majd az O középpontú OD sugarú k kört, ez lesz a háromszög beírt köre. A B pontból érintőket húzunk k-hoz, illetve meghúzzuk a k kör D pontbeli érintőjét. Az így kapott három egyenes lesznek a keresett háromszög oldalegyenesei, a B pont és a pozitív körüljárási irány a háromszöget egyértelműen meghatározza. Az elmondottakból világos, hogy a feladatnak ez az egyetlen lehetséges megoldása.
A fenti szerkesztési lépéseket csak akkor tudjuk elvégezni, ha OD és az OD távolság kisebb az OB távolságnál. Az eljárás akkor és csak akkor fog helyes eredményre vezetni, ha a B-ből k-hoz húzott érintők érintési pontjait O-ra tükrözve, a D pont a k körnek az így kapott pontok által kijelölt rövidebbik ívére esik. Ez pontosan akkor teljesül, ha a D pont O-ra vett tükörképét D'-vel jelölve, az OD'B szög 90o-nál nagyobb, vagyis a D' pont az OB átmérőjű kör belsejébe esik; ekkor viszont a 0<OD=OD'<OB feltétel is automatikusan teljesül. Ezt a három adott pontra megfogalmazva, a feladatnak pontosan akkor van - méghozzá pontosan egy - megoldása, ha a
vektor hossza kisebb a B és O pontok távolságánál.
Statistics:
34 students sent a solution. 4 points: Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Wolosz János. 3 points: Blutman Kristóf László, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Majoros Csilla, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Tóth 666 László Márton. 2 points: 12 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007