Problem B. 3979. (February 2007)

B. 3979. The vertices of triangle ABC are labelled in counterclockwise order. The angles at the vertices A, B, and C are $\alpha$ , $\beta$ and $\gamma$ , respectively. The vertex B is rotated about the point A through the angle $\alpha$ in clockwise direction. The point B₁ obtained is rotated about B through the angle $\beta$ in clockwise direction. Finally, the point B₂ obtained is rotated about C in clockwise direction to the point B₃. Given the points B, B₃ and O the middle point of the incentre of the triangle ABC, construct the triangle. Investigate how the solution depends on the positions of the three given points.

(Based on a problem from the National Mathematics Competition for Secondary Schools (OKTV))

(4 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a P pont körüli $\varphi$ irányított szöggel történő elforgatást $P_\varphi$ , a v vektorral történő eltolást E_v. Gondoljuk meg a következő pár dolgot. Először is, a $P_\varphi$ forgatást elvégezhetjük úgy, hogy először a P pontot eltoljuk az O-ba, vagyis az E_v eltolást alkalmazzuk, ahol $v=\overrightarrow{PO}$ , majd alkalmazzuk az $O_\varphi$ forgatást, végül visszatoljuk az O pontot a P-be, vagyis alkalmazzuk az E_-v eltolást. Ezt képletben így fejezhetjük ki: $P_\varphi=E_{-v} O_\varphi E_v$ , ahol az egymás mellé írással fejeztük ki a leképezések kompozícióját. Másrészt tetszőleges F forgatásra FE_v=E_wF, ahol a w vektor éppen a v vektor elforgatottja, vagyis w=F(v). Végül nyilvánvalóan E_uE_v=E_u+v és $P_\psi P_\varphi=P_{\psi+\varphi}$ .

Jelöléseinkkel B₃=T(B), ahol a T transzformációt az $u=\overrightarrow{AO}$ , $v=\overrightarrow{BO}$ , $w=\overrightarrow{CO}$ jelölésekkel a $T=E_{-w}O_\gamma E_w E_{-v}O_\beta E_v E_{-u}O_\alpha E_u$ képlet adja meg. Fenti meggondolásaink alapján ezt alkalmas z vektorral a $T=E_zO_\pi$ alakra hozhatjuk, hiszen $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ . A z vektort legkönnyebben a $z=\overrightarrow{OT(O)}$ észrevétel segítségével határozhatjuk meg: az első forgatásnál az O pont képe az O-nak az AB egyenesre vett tükörképe lesz, a második forgatás után ez visszakerül O-ba, a harmadik pedig elviszi az O pontnak az AC oldalra vett tükörképébe. Ezért $z= 2\overrightarrow{OD}$ , ahol D az O pont vetülete az AC egyenesre, vagyis az a pont, ahol a beírt kör érinti az AC oldalt.

Mivel $O_\pi$ az O pontra való tükrözés, a T transzformáció nem más, mint a D pontra való tükrözés, vagyis a D pont éppen a BB₃ szakasz felezőpontja. Ennek alapján a szerkesztés menete a következő: megszerkesztjük a BB₃ szakasz D felezőpontját, majd az O középpontú OD sugarú k kört, ez lesz a háromszög beírt köre. A B pontból érintőket húzunk k-hoz, illetve meghúzzuk a k kör D pontbeli érintőjét. Az így kapott három egyenes lesznek a keresett háromszög oldalegyenesei, a B pont és a pozitív körüljárási irány a háromszöget egyértelműen meghatározza. Az elmondottakból világos, hogy a feladatnak ez az egyetlen lehetséges megoldása.

A fenti szerkesztési lépéseket csak akkor tudjuk elvégezni, ha O $\ne$ D és az OD távolság kisebb az OB távolságnál. Az eljárás akkor és csak akkor fog helyes eredményre vezetni, ha a B-ből k-hoz húzott érintők érintési pontjait O-ra tükrözve, a D pont a k körnek az így kapott pontok által kijelölt rövidebbik ívére esik. Ez pontosan akkor teljesül, ha a D pont O-ra vett tükörképét D'-vel jelölve, az OD'B szög 90^o-nál nagyobb, vagyis a D' pont az OB átmérőjű kör belsejébe esik; ekkor viszont a 0<OD=OD'<OB feltétel is automatikusan teljesül. Ezt a három adott pontra megfogalmazva, a feladatnak pontosan akkor van - méghozzá pontosan egy - megoldása, ha a $2\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{B_3O}$ vektor hossza kisebb a B és O pontok távolságánál.

Statistics:

34 students sent a solution.

4 points: Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Wolosz János.

3 points: Blutman Kristóf László, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Majoros Csilla, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Tóth 666 László Márton.

2 points: 12 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007

34 students sent a solution.
4 points:	Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Wolosz János.
3 points:	Blutman Kristóf László, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Majoros Csilla, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Tóth 666 László Márton.
2 points:	12 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?