Problem B. 3996. (April 2007)

B. 3996. We have a rectangular sheet of paper. We want to make polygons of 20 sides from it according to the following rule: In each step, we choose a piece of paper (initially, this must be the original sheet) and cut it in two along a straight line. Continuing the procedure what is the minimum number of cuts needed to get one hundred pieces 20-sided polygons?

Competition problem from Germany

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Minden vágás után eggyel nő a sokszögek száma. A t-edik vágás után tehát t+1 darab sokszögünk van, ezek oldalszámait jelölje $a_0,a_1,\ldots,a_t$ . Kezdetben (vagyis a 0-adik vágás után) t=0, a₀=4. Definiáljuk a $K(t)=\sum_{i=0}^t (a_i-3)$ mennyiséget, ez egy nemnegatív egész szám, hiszen minden összeadandója is az, és K(0)=1. Azt állítjuk, hogy K(t+1) $\le$ K(t)+1. Valóban, K(t+1) t+2 darab összeadandója közül t darab megegyezik K(t) t+1 darab összeadandója közül t darabbal, a maradék két tag pedig K(t) kimaradt tagjából származtatható úgy, hogy ha ez a kimaradt tag a-3 volt, akkor az a oldalú sokszöget vágtuk ketté egy b és egy c oldalú sokszögre, K(t+1) két kimaradt tagja ekkor b-3 és c-3. Könnyű meggondolni, hogy b+c $\le$ a+4, vagyis (b-3)+(c-3) $\le$ (a-3)+1, innen az állítás.

Ha a t-edik vágás után van legalább 100 darab 20-szög, akkor K(t) $\ge$ 100(20-3)=1700, de az előzőek szerint K(t) $\le$ K(0)+t=t+1, ahonnan t $\ge$ 1699 következik. Tehát legalább 1699 vágásra szükség van. Ennyi elegendő is: az első 99 vágással mindig négyszögeket gyártva elkészíthetünk 100 darab négyszöget, mindegyiken 16 alkalmas további vágást ejtve belőlük 20-szögeket fabrikálhatunk (és lesz még mellé 1600 darab levágott kis háromszögünk).

Statistics:

42 students sent a solution.

5 points: Cséke Balázs, Éles András, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Varga 171 László, Wolosz János.

4 points: Aczél Gergely, Blázsik Zoltán, Farkas Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 666 László Márton.

3 points: 5 students.

2 points: 11 students.

0 point: 5 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007

42 students sent a solution.
5 points:	Cséke Balázs, Éles András, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:	Aczél Gergely, Blázsik Zoltán, Farkas Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 666 László Márton.
3 points:	5 students.
2 points:	11 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?