Problem B. 3997. (April 2007)
B. 3997. Prove that if the product of the real numbers x, y, z is 1, then
x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x22(x+y+z).
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az a2+b22ab egyenlőtlenség felhasználásával kapjuk, hogy
x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x22(x2y2+y2z2+z2x2).
Ugyanígy a2b2+b2c22(ab)(ac)=2ab2c miatt
2(x2y2+y2z2+z2x2)2(x2yz+xy2z+xyz2)=2xyz(x+y+z)=2(x+y+z),
a bizonyítandó állítás tehát következik a két egyenlőtlenség konkatenációjából. Az első helyen akkor van egyenlőség, ha x2=y2=z2, a második helyen pedig akkor, ha xy=xz=yz. Egyenlőség esete tehát pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám 1-gyel egyenlő.
Statistics:
109 students sent a solution. 4 points: 86 students. 3 points: 12 students. 1 point: 1 student. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007