Problem B. 4002. (May 2007)

B. 4002. Prove that if n>1 is an integer then there exists a sequence of integers a₁=n<a₂<a₃<..., such that a₁²+...+a_k² is divisible by the number a₁+...+a_k for all values of k.

(3 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy rögzített n mellett az $a_1,a_2,\ldots, a_k$ számokat már megtaláltuk úgy, hogy $n=a_1<a_2<\ldots<a_k$ ,

$s=a_1+a_2+\ldots+a_k\mid a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2=t$

és s<t. Ezt k=1 esetén nyilván meg tudjuk tenni, hiszen $n\mid n^2$ és n<n². Az x=a_k+1 számra teljesülnie kell az $x+s\mid x^2+t$ oszthatóságnak. Mivel $x+s\mid x^2-s^2$ , ez ekvivalens az $x+s\mid s^2+t$ feltétellel, amit x=s²-s+t nyilván kielégít. Ekkor a_k $\le$ s<t $\le$ x is teljesül, és nyilván s+x<t+x² is. A rekurzív definíció elve alapján tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező sorozat.

Statistics:

45 students sent a solution.

3 points: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.

2 points: Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.

1 point: 4 students.

0 point: 1 student.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

45 students sent a solution.
3 points:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.
2 points:	Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?