Problem B. 4004. (May 2007)

B. 4004. A' is the reflection of the vertex A of an equilateral triangle ABC about the opposite side. A line passing through A' intersects the lines AB and AC at the points C' and B', respectively. What is the locus of the intersection of lines BB' and CC'?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Azt állítjuk, hogy a mértani hely az ABC háromszög köré írható k kör lesz a B és C pontok kivételével. Az elfajuló esetek megfelelő értelmezésével pedig a teljes kört megkapjuk. Ha az egyenes, jelöljük a továbbiakban e-vel, átmegy az A csúcson, akkor A=B'=C', a BB' és CC' egyenesek M metszéspontja tehát az A pont lesz. Ha a B csúcson megy át, akkor a B' pont nem jön létre, de tekintetjük úgy, mint az AC egyenesnek - és egyben az összes azzal párhuzamos egyenesnek is - a végtelen távoli, ún. ideális pontja. Ezzel a konvencióval BB'-t értelmezhetjük úgy, mint a BA' egyenest, a metszéspont ebben az esetben B lesz. Hasonlóképpen, ha e a C csúcson halad át, akkor C' és így M sem létezik, de az előző megállapodással élve M=C adódik.

Legyen a háromszög oldala egységnyi, és tegyük fel először, hogy a B',C' pontok rendre az AC és a AB félegyenesekre esnek. Legyen CB'=x>0. Az A'BC' és B'CA' háromszögek hasonlóságából x:1=1:BC', vagyis BC'=1/x. A BB'C, illetve CC'B háromszögekre a koszinusz-tételt felírva kapjuk, hogy

$BB'=\sqrt{x^2+x+1},\qquad CC'=\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}= \frac{1}{x}\sqrt{x^2+x+1}.$

Mivel AB'=x+1 és $AC'=1+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(x+1)$ , az ABB' és ACC' háromszögekben a szinusz-tételt alkalmazva

$\frac{\sin ABB'\angle}{\sin 60^\circ}=\frac{AB'}{BB'}= \frac{1+x}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{\frac{1}{x}(1+x)}{\frac{1}{x}\sqrt{x^2+x+1}}= \frac{AC'}{CC'}=\frac{\sin ACC'\angle}{\sin 60^\circ},$

ahonnan sin ABB' $\angle$ =sin ACC' $\angle$ . Ha B'C' párhuzamos BC-vel, akkor az ABB' és ACC' szög is derékszög, egyébként pedig az egyik hegyesszög, a másik pedig tompaszög (aszerint, hogy x értéke 1-nél nagyobb-e, vagy kisebb). A két szög tehát egymást 180^o-ra egészíti ki, vagyis az ABMC négyszögben a BMC szög 120^o-os, az M pont a k kör (rövidebbik) BC ívén helyezkedik el. Ha a C' pont végigfut az AB szakasz B-n túli meghosszabbításán, akkor a B' pont ellentétes irányban végigfut az AC szakasz C-n túli meghosszabbításán, az M pont pedig befutja a teljes nyílt BC ívet.

Tegyük fel most, hogy a C' pont az AB szakaszon helyezkedik el, és legyen megint CB'=x>1. Az előzőhöz hasonló érveléssel ebben az esetben is BC'=1/x. Most

$AB'=x-1,\ AC'=1-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(x-1),\ BB'=\sqrt{x^2-x+1},\ CC'=\frac{1}{x}\sqrt{x^2-x+1},$

tehát

$\frac{\sin ABB'\angle}{\sin 60^\circ}=\frac{AB'}{BB'}= \frac{x-1}{\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{\frac{1}{x}(x-1)}{\frac{1}{x}\sqrt{x^2-x+1}}= \frac{AC'}{CC'}=\frac{\sin ACC'\angle}{\sin 60^\circ}.$

Mivel az ABB' és ACC' szög is hegyesszög (kisebb mint 60^o), azt kapjuk, hogy a két szög megegyezik. A kerületi szögek tétele miatt az ACBM négyszög húrnégyszög, tehát a BC szakasz az M pontból is 60^o-os szög alatt látszik, vagyis elhelyezkedése folytán a k kör AB ívére esik. Ha a C' pont befutja az AB szakaszt, az M pont ezen a teljes köríven fog végigfutni.

Végezetül, ha a B' pont befutja az AC szakaszt, akkor szimmetria okok miatt az M pont a k kör AC ívén fog végighaladni. Ezzel minden esetet megvizsgáltunk, állításunkat teljes mértékben igazoltuk.

Statistics:

47 students sent a solution.

4 points: Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Törcsvári Gergő, Véges Márton, Wolosz János.

3 points: Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Bartha Zsolt, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csizmadija Laura, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Gyurcsik Judit, Hujter Mónika, Nagy-Baló András, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh.

2 points: 4 students.

1 point: 2 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

47 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Törcsvári Gergő, Véges Márton, Wolosz János.
3 points:	Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Bartha Zsolt, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csizmadija Laura, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Gyurcsik Judit, Hujter Mónika, Nagy-Baló András, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?