Problem B. 4006. (May 2007)
B. 4006. a, b, c are the sides of a triangle, such that a+b=2c. Prove that the centres of the inscribed and circumscribed circles are concyclic with the midpoints of the sides a and b.
(4 pont)
Deadline expired on June 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját Fa,Fb, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az Ea,Eb pontokban. Mivel a CO szakasz az Fa és Fb pontokból is 90o-os szög alatt látszik, az Fa,C,Fb és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az Ea,C,Eb és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az EaEb egyenes elválasztja a C és K pontokat, az EaKEb szög a háromszög C-nél lévő szögét 180o-ra egészíti ki.
Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy ab, mondjuk a>b. Mivel CEa=CEb=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,
Ezért az FaEaK és FbEbK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen EaK=EbK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180o- szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az FaFb szakasz is ekkora szög alatt látszik, az FaFb egyenes másik oldalára eső C pontból viszont szög alatt. Ezért az Fa,C,Fb és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.
Statistics:
63 students sent a solution. 4 points: 56 students. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007