Problem B. 4009. (May 2007)

B. 4009. The angle bisectors drawn from the vertices A and B of a triangle ABC intersect the opposite sides at A₁ and B₁, respectively. P is the intersection of the ray A₁B₁ with the circumscribed circle of the triangle. Prove that

$\frac{1}{PA} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PC}.$

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Írjuk át a bizonyítandó állítást PB^.PC=PA^.PC+PA^.PB alakba. A szokásos jelölések mellett jelölje R a körülírt kör sugarát, t_XYZ az XYZ háromszög területét. Legyen továbbá t=t_ABC és q=PB₁/A₁B₁, ekkor PA₁/A₁B₁=1+q. A szögfelező-tételt felhasználva

$\frac{t_{PBC}}{t}=\frac{t_{PBC}}{t_{B_1BC}}\cdot \frac{t_{B_1BC}}{t}=\frac{PA_1}{A_1B_1}\cdot \frac{B_1C}{AC}=(1+q)\frac{a}{a+c},$

ezért

$PB\cdot PC=\frac{2t_{PBC}}{\sin\alpha}=\frac{4Rt_{PBC}}{a}= \frac{4Rt(1+q)}{a+c}.$

Hasonlóképpen kapjuk, hogy

$PA\cdot PC=\frac{4Rt_{PAC}}{b}=\frac{4Rqt_{A_1AC}}{b}= \frac{4Rtq}{b}\cdot\frac{A_1C}{BC}=\frac{4Rtq}{b+c}.$

A PAB háromszög területének meghatározásához jelölje az X pontnak az AB egyenestől vett távolságást m_X, és legyen m=m_C. Ekkor

$m_{A_1}=\frac{A_1B}{BC}\cdot m_C=\frac{cm}{b+c}\quad\hbox{\rm és}\quad m_{B_1}=\frac{B_1A}{AC}\cdot m_C=\frac{cm}{a+c}.$

Ezért az ábráról leolvasható hasonlóságok alapján (az ábra az a>b esetet szemlélteti) m_B₁-m_P=q(m_A₁-m_B₁), ahonnan

$m_P=m_{B_1}-q(m_{A_1}-m_{B_1})=\frac{cm}{(a+c)(b+c)}\bigl(b+c-q(a-b)\bigr).$

Következésképpen

$PA\cdot PB=\frac{4Rt_{PAB}}{c}=\frac{4Rt}{c}\cdot\frac{m_P}{m}= \frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}\bigl(b+c-q(a-b)\bigr),$

tehát

$PA\cdot PC+PA\cdot PB=\frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}\bigl(q(a+c)+(b+c)-q(a-b)\bigr)=$

$=\frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}(1+q)(b+c)=PB\cdot PC.$

Statistics:

8 students sent a solution.

5 points: Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Tossenberger Anna, Wolosz János.

4 points: Cseh Ágnes, Réti Dávid.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

8 students sent a solution.
5 points:	Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Tossenberger Anna, Wolosz János.
4 points:	Cseh Ágnes, Réti Dávid.

Already signed up?
New to KöMaL?