Problem B. 4018. (September 2007)
B. 4018. P is a given point on the tangent drawn at point B of a circle of diameter AB. The point of tangency of the other tangent from P is C. T is the orthogonal projection of C on the line AB. Prove that AP bisects the line segment CT.
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen a kör középpontja O, a C pontnak a BP egyenesre eső vetülete S, az AP és CT szakaszok metszéspontja pedig legyen Q. Az egyszerűség kedvéért vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melynek középpontja O, a B pont koordinátái B(1;0), a P(1;p) pont második koordinátája pedig pozitív. A többi pont koordinátái ekkor A(-1;0), T(t;0), Q(t;q), C(t;c) és S(1;c) lesznek alkalmas t,q,c számokkal. Azt kell belátnunk, hogy q=c/2. Itt q,c>0, t pedig attól függően lesz pozitív, nagatív, vagy 0, hogy p értéke 0 és 1 közé esik, 1-nél nagyobb, vagy pedig 1-gyel egyenlő. A kör egyenlete x2+y2=1, tehát t2+c2=1.
A CTO (t=0 esetén elfajuló) derékszögű háromszöget mindhárom esetben C körüli 90o-os forgatva nyújtás viszi a CSP háromszögbe, a megfelelő oldalak arányára tehát t:c=(c-p):(1-t) írható fel, ahonnan t-t2=c2-cp, cp=t2+c2-t=1-t adódik. Az ATC és ABP derékszögű háromszögek hasonlóságából pedig a q:(1+t)=p:2 arányosságot kapjuk, ahonnan
amint azt bizonyítanunk kellett.
Statistics:
114 students sent a solution. 4 points: 71 students. 3 points: 18 students. 2 points: 11 students. 1 point: 5 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007