Problem B. 4024. (October 2007)

B. 4024. How many numbers can be selected out of the first 1000 positive integers at most, so that the sum of no pair of selected numbers is divisible by their difference.

(3 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az n számot kiválasztottuk, akkor sem n+1, sem n+2 nem lehet a kiválasztottak között; három egymást követő szám közül legfeljebb egyet választhatunk ki. Ezért az első 999 pozitív egész közül legfeljebb 333-at, az első 1000 közül pedig legfeljebb 334-et választhatunk ki.

Ennyit pedig ki is lehet választani. Tekintsük ugyanis az 1,4,7,...,1000 számokat, ezek mindegyike 1 maradékot ad 3-mal osztva. Bármely kettő különbsége osztható tehát 3-mal, és ezért nem lehet osztója semelyik két szám összegének, hiszen az 3-mal osztva 2 maradékot ad.

Statistics:

164 students sent a solution.
3 points:	114 students.
2 points:	30 students.
1 point:	14 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007