Problem B. 4027. (October 2007)

B. 4027. Solve the following equation:

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha x=1, akkor mindkét oldal értéke 1/6, x=2 esetén 1/3, x=3 esetén pedig 1/2. Ez a három szám tehát megoldása az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül más megoldás nincs. Ha az x valós szám kielégíti az egyenletet, akkor megoldása a négyzetreemelés és a nevezőkkel történő beszorzás után kapott

36(6-x)(x²+1)²=(11x-6)(x²+11)²

egyenletnek is. A szorzásokat elvégezve, rendezés után a

p(x)=47x⁵-222x⁴+314x³-564x²+1367x-942=0

ötödfokú egyenletet kapjuk. Mivel ennek x=1 megoldása, p(x)-ből az x-1 gyöktényezőt kiemelhetjük:

p(x)=(x-1)(47x⁴-175x³+139x²-425x+942).

Ha tehát x1, akkor

q(x)=47x⁴-175x³+139x²-425x+942=0.

Mivel ennek az egyenletnek x=2 és x=3 is megoldása, az x-2 és x-3 gyöktényezőket is kiemelhetjük:

q(x)=(x-2)(47x³-81x²-23x-471)=(x-2)(x-3)(47x²+60x+157).

Így ha x sem 1-gyel, sem 2-vel, sem pedig 3-mal nem egyenlő, akkor 47x²+60x+157=0. Ennek a másodfokú egyenleteknek viszont nincs megoldása, hiszen diszkriminánsa, 60²-4^.47^.157 negatív.

Statistics:

196 students sent a solution.
4 points:	122 students.
3 points:	44 students.
2 points:	11 students.
1 point:	11 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007